El criterio de Kelly para estrategias: cómo dimensionar posiciones y asignar capital

Una estrategia con valor esperado positivo puede igualmente destruir tu cuenta si el tamaño de la apuesta es incorrecto. Recorremos el criterio de Kelly desde la deducción de la fórmula hasta una cartera de estrategias: por qué el Kelly completo es peligroso, cómo el Kelly fraccionario captura el 75% del crecimiento con la mitad de la volatilidad, y qué receta de dimensionamiento deberías aplicar realmente en el trading algorítmico. A mitad del artículo hay una calculadora interactiva que muestra cómo la fracción de Kelly mueve el retorno y el riesgo.

La pregunta que toda estrategia está obligada a responder

Tienes una estrategia con ventaja positiva: a largo plazo genera dinero. Queda un detalle por resolver: qué fracción del capital destinar a una sola operación o asignar a una sola estrategia.

Esta no es una pregunta secundaria, sino la central. El valor esperado positivo no te salva de la ruina: apuesta demasiado y una racha perdedora llevará tu cuenta a una zona de la que no hay recuperación estadística (ver La asimetría de pérdidas y ganancias). Apuesta demasiado poco y dejarás sobre la mesa la mayor parte del crecimiento potencial.

El criterio de Kelly da una respuesta precisa: es la fracción de capital que maximiza la tasa de crecimiento a largo plazo — la geométrica, no la aritmética. Es el crecimiento geométrico el que determina dónde termina tu cuenta después de mil operaciones, porque los retornos se multiplican en lugar de sumarse (ver La naturaleza multiplicativa de los retornos).

De dónde viene la fórmula: maximizar el logaritmo del capital

La idea clave de Kelly (1956) y más tarde de Thorp: lo que debes optimizar no es el beneficio esperado de una sola operación, sino el logaritmo esperado de tu capital final. El logaritmo no aparece por accidente — es la única función cuya maximización hace crecer el capital a la máxima tasa geométrica.

El caso binario: una apuesta con dos resultados

Supongamos que con probabilidad $p$ la apuesta devuelve un pago neto de $b$ por unidad (las probabilidades), y con probabilidad $q = 1 - p$ perdemos la propia apuesta. Apostamos una fracción $f$ de nuestro capital. Tras una operación, el capital se multiplica por $(1 + fb)$ si ganamos y por $(1 - f)$ si perdemos.

Crecimiento logarítmico esperado:

$g(f) = p \ln(1 + fb) + q \ln(1 - f)$

Tomamos la derivada respecto a $f$ y la igualamos a cero:

$g'(f) = \frac{pb}{1 + fb} - \frac{q}{1 - f} = 0$

La solución es la fórmula de Kelly:

$f^{*} = \frac{pb - q}{b} = p - \frac{q}{b}$

En palabras: la fracción óptima es igual a tu ventaja dividida por las probabilidades. Sin ventaja ($pb = q$) — sin apuesta.

Ejemplo

Una estrategia gana el 55% de las operaciones con una relación de pago de 1:1 ($b = 1$):

$f^{*} = p - \frac{q}{b} = 0.55 - \frac{0.45}{1} = 0.10$

El Kelly completo indica arriesgar el 10% del capital por operación. Recuerda este número — más abajo veremos por qué casi nadie debería apostar exactamente esa cantidad.

El caso continuo: retornos en lugar de apuestas

En trading, una operación rara vez se parece a una apuesta con dos resultados — hay una distribución de retornos. Para retornos con media $\mu$ y varianza $\sigma^2$ por período, el crecimiento logarítmico esperado con apalancamiento (fracción) $f$ es aproximadamente:

$g(f) \approx f\mu - \tfrac{1}{2} f^{2}\sigma^{2}$

El máximo se alcanza en:

$\boxed{\,f^{*} = \dfrac{\mu}{\sigma^{2}}\,}$

Esta es la famosa forma continua de Kelly (también conocida como la fracción de Merton). Y la tasa de crecimiento en el óptimo está vinculada al ratio de Sharpe $\mathrm{SR} = \mu / \sigma$ de manera notablemente elegante:

$g(f^{*}) = \frac{\mu^{2}}{2\sigma^{2}} = \frac{\mathrm{SR}^{2}}{2}$

Una conclusión digna de anotar: la tasa máxima de crecimiento geométrico de una cartera es igual a la mitad del cuadrado de su Sharpe. Duplica el Sharpe y cuadruplicarás la tasa de crecimiento del capital.

Por qué el Kelly completo es demasiado

La fórmula da el óptimo matemático para el crecimiento. Pero ese óptimo tiene un precio del que la fórmula guarda silencio: una volatilidad de trayectoria monstruosa y caídas que rompen cualquier cuenta real y cualquier persona real.

La geometría de desviarse del óptimo

Sustituye la fracción $c \cdot f^{*}$ (donde $c$ es el multiplicador de Kelly: $c = 1$ es Kelly completo, $c = 0.5$ es medio Kelly) en la fórmula de crecimiento. Relativo al máximo obtenemos:

$\frac{g(c)}{g(f^{*})} = 2c - c^{2}$

Esta parábola cuenta toda la historia de la gestión de riesgo en una sola línea:

Tres conclusiones:

1. El medio Kelly captura el 75% del crecimiento con la mitad de la volatilidad. En términos de riesgo/retorno esto es mucho mejor que el Kelly completo.
2. La parábola es simétrica respecto a $c = 1$. Apostar $1.5\times$ Kelly da el mismo crecimiento que $0.5\times$, pero es tres veces más volátil. Excederse se castiga con más severidad que quedarse corto.
3. En $2\times$ Kelly el crecimiento llega a cero, y más allá se vuelve negativo. Un dimensionamiento demasiado agresivo mata el capital incluso en una estrategia ganadora.

Las caídas del Kelly completo: la fórmula que te devuelve a la realidad

Para el modelo continuo, la probabilidad de que el capital caiga alguna vez a una fracción $\alpha$ de su valor inicial es igual a:

$P(\text{caída hasta } \alpha) = \alpha^{\frac{2 - c}{c}}$

Introduce los niveles de Kelly — y obtienes una tabla tras la cual el Kelly completo deja de parecer atractivo:

Con el Kelly completo, la probabilidad de sufrir alguna vez una caída del 50% es del 50%. Esto no es un escenario de cola — es lanzar una moneda. El medio Kelly la reduce al 12.5%, el cuarto de Kelly a una fracción de porcentaje. Y eso es en un modelo gaussiano idealizado; las colas pesadas reales hacen que las caídas reales sean aún más profundas.

La calculadora: mueve la fracción de Kelly — observa el retorno y el riesgo

Mueve los deslizadores. Los dos superiores fijan la ventaja de la estrategia (probabilidad de ganar y relación de pago), el inferior fija el multiplicador de Kelly $c$. Observa cómo cambian simultáneamente la tasa de crecimiento del capital y la probabilidad de una caída profunda. Presta atención al gráfico principal del artículo: al pasar de medio a Kelly completo, el crecimiento sube un poco, mientras que el riesgo de caída sube varias veces.

Juega con el deslizador de la fracción de Kelly alrededor de los valores 0.5 y 1.0: el crecimiento frente al máximo sube del 75% al 100%, pero el riesgo de una caída del 50% salta del 13% al 50%. Por esta razón exacta los profesionales viven en la mitad izquierda de la parábola.

El Kelly fraccionario como estándar de la industria

Los gestores serios casi nunca apuestan Kelly completo. El rango típico va de $1/4$ a $1/2$ Kelly. Más allá de las caídas, hay cuatro razones fundamentales para reducir la fracción.

1. Error en la estimación de parámetros. La fórmula supone que conoces los valores verdaderos de $p$, $b$, $\mu$, $\sigma$. En realidad los estimas a partir de una muestra finita. Y la función de crecimiento es asimétrica: sobrestimar la ventaja te lleva más allá del óptimo, donde el crecimiento cae más rápido de lo que sube con la misma subestimación. Si el Kelly verdadero es $f^{*}$ y lo estimaste con error, es más seguro apostar sistemáticamente menos. Regla general: cuando la estimación es incierta, reduce la fracción a la mitad.

2. No estacionariedad. La ventaja de una estrategia no es una constante — los regímenes de mercado cambian, la ventaja se degrada, los competidores copian la idea. El Kelly calculado con los datos de ayer puede resultar sobrestimado mañana. Un multiplicador fraccionario es un colchón contra la degradación de la ventaja.

3. Colas pesadas. La fórmula gaussiana $f^{*} = \mu/\sigma^2$ subestima el riesgo de movimientos extremos. En distribuciones reales de cola pesada, sobreapuesta sistemáticamente. El Kelly fraccionario compensa esto parcialmente.

4. El costo de las caídas en un negocio. Para un creador de mercado, una caída no es solo psicología. Son llamadas de margen, reducciones forzadas de posición en el peor momento, salidas de capital de los inversores, un costo creciente de financiación (ver Cómo las tasas de financiación matan el apalancamiento). Una curva de capital suave tiene un valor propio que está ausente en la fórmula de Kelly.

Kelly para una cartera de estrategias

Hasta ahora hemos hablado de una sola estrategia. Pero la pregunta real es elegir Kelly para estrategias en plural: tienes varias estrategias y necesitas asignar el capital entre ellas.

El enfoque ingenuo — calcular Kelly para cada una por separado y sumarlas — es catastróficamente erróneo, porque ignora las correlaciones. Dos estrategias fuertemente correlacionadas son esencialmente una apuesta duplicada, y el riesgo total debe contarse como si fuera uno solo.

La forma matricial

Para un vector de retornos esperados $\boldsymbol{\mu}$ y una matriz de covarianza $\boldsymbol{\Sigma}$, el vector óptimo de fracciones para todas las estrategias a la vez:

$\boxed{\,\mathbf{f}^{*} = \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu}\,}$

La tasa de crecimiento en el óptimo se generaliza al cuadrado del Sharpe de la cartera:

$g(\mathbf{f}^{*}) = \tfrac{1}{2}\, \boldsymbol{\mu}^{\top} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu} = \tfrac{1}{2}\,\mathrm{SR}_{\text{portfolio}}^{2}$

Nota: $\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{\mu}$ es la dirección de la cartera de Sharpe máximo (la cartera tangente). Kelly y la optimización de media-varianza son dos caras de la misma moneda: Kelly simplemente fija el nivel de apalancamiento en el que maximiza el crecimiento geométrico.

Qué hace la covarianza inversa

• Las estrategias correlacionadas comparten el presupuesto de riesgo. Si dos estrategias son casi idénticas, la matriz recortará su fracción combinada al nivel de una sola — automáticamente, sin trucos manuales.
• Las estrategias no correlacionadas obtienen una prima de diversificación. Pueden mantenerse más cerca de sus tamaños individuales, y el Sharpe total de la cartera será mayor que el de cada una por separado.
• Las estrategias correlacionadas negativamente pueden obtener fracciones aumentadas — se cubren mutuamente, y la matriz lo recompensa.

Una advertencia sobre la estimación de $\boldsymbol{\Sigma}$

Invertir una matriz de covarianza es numéricamente inestable: con estimaciones ruidosas, $\boldsymbol{\Sigma}^{-1}$ infla pequeños errores hasta convertirlos en pesos descontrolados. La contracción (shrinkage) de la covarianza hacia la diagonal, los topes de apalancamiento y el mismo multiplicador fraccionario son obligatorios. Sin ellos, el Kelly matricial produce fracciones que se ven hermosas en el backtest y letales en producción.

Ajustes para el trading algorítmico y el market making

La fórmula pura vive en un mundo estéril. En un motor real necesitas ajustes.

• Comisiones y deslizamiento (slippage) reducen la ventaja efectiva. Calcula Kelly sobre retornos después de todos los costos, de lo contrario sobreapostarás sistemáticamente.
• La discreción de las apuestas y el tamaño de los lotes te impiden apostar exactamente $f^{*}$ — redondea hacia abajo, no hacia arriba.
• Una ventaja no estacionaria requiere recalcular con el tiempo: estimaciones de $\mu$ y $\sigma$ en una ventana móvil con vida media, no sobre todo el historial.
• Una restricción de caída. Además de Kelly, fija un techo duro: caída máxima, apalancamiento máximo, fracción máxima por estrategia individual. Existen versiones formales de Kelly con restricción de caída (Busseti, Boyd), pero en la práctica basta un tope simple.
• Honestidad al estimar la ventaja. El error principal es alimentar a Kelly con una ventaja medida in-sample. Toma solo una estimación out-of-sample, en walk-forward, después de comisiones. Una ventaja sobrestimada que entra en la fórmula significa una apuesta sobrestimada que sale.

La receta: cómo aplicar esto

1. Estima la ventaja honestamente. Out-of-sample, en walk-forward, después de comisiones y deslizamiento. Este es el paso más importante — basura entra, ruina sale.
2. Calcula el Kelly completo. Binario $f^{*} = p - q/b$ para resultados discretos o continuo $f^{*} = \mu/\sigma^2$ para retornos.
3. Toma una fracción. Por defecto $1/4$–$1/2$ del Kelly completo. Cuanto menos robusta sea la ventaja, menor el multiplicador.
4. Para una cartera, calcula en forma matricial. $\mathbf{f}^{*} = \boldsymbol{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{\mu}$ con contracción de covarianza, luego el mismo multiplicador fraccionario.
5. Fija topes duros. Máximo por posición, apalancamiento máximo, un límite de caída — encima de todo lo demás.
6. Recalcula. A medida que las estimaciones se actualizan, reduce la fracción cuando la incertidumbre crece y la ventaja se degrada.

Código

import numpy as np

def kelly_binary(p, b):
    """p — win probability, b — net payout ratio per 1 unit of stake."""
    q = 1 - p
    return (b * p - q) / b          # = p - q/b

def kelly_continuous(mu, sigma):
    """mu, sigma — mean and standard deviation of period returns (in the same units)."""
    return mu / sigma ** 2

def kelly_portfolio(mu, cov, shrink=0.0):
    """Matrix Kelly for a portfolio of strategies.
    mu  — vector of expected returns;
    cov — covariance matrix of returns;
    shrink — shrinkage coefficient toward the diagonal (0..1) for stable inversion."""
    cov = np.asarray(cov, float)
    if shrink:
        cov = (1 - shrink) * cov + shrink * np.diag(np.diag(cov))
    return np.linalg.solve(cov, np.asarray(mu, float))

def sized(f_star, kelly_fraction=0.25, cap=0.2):
    """Fractional Kelly with a hard cap on the fraction."""
    return float(np.clip(f_star * kelly_fraction, -cap, cap))

f = kelly_binary(p=0.55, b=1.0)    # 0.10 — full Kelly
print(sized(f))                    # 0.025 — quarter Kelly, a safe size

Errores comunes

• Kelly sobre una ventaja in-sample. El error más costoso. Una ventaja sobrestimada → sobreapuesta → crecimiento negativo.
• Ignorar las correlaciones entre estrategias. La suma de los Kelly individuales no es el Kelly de la cartera.
• Kelly completo en producción. El máximo matemático de crecimiento, pero un 50% de probabilidad de una caída a la mitad de la cuenta. No es apto para casi nadie.
• Kelly con una ventaja inestable. Si la ventaja se degrada, la fórmula sobrestima sistemáticamente la apuesta.
• Confundir los objetivos. Kelly maximiza el crecimiento geométrico del capital — no el Sharpe, no la probabilidad de mantenerse en positivo, y no la comodidad. Si una curva suave te importa más, apuesta deliberadamente Kelly fraccionario.

Conclusión

El criterio de Kelly responde a la pregunta central de toda estrategia — cuánto apostar — con una fórmula que maximiza el crecimiento geométrico a largo plazo: $f^{*} = p - q/b$ para apuestas y $f^{*} = \mu/\sigma^2$ para retornos, y para una cartera — $\mathbf{f}^{*} = \boldsymbol{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{\mu}$.

Pero el Kelly completo es el óptimo matemático para el crecimiento, no para la supervivencia. El Kelly fraccionario ($1/4$–$1/2$) captura la mayor parte del crecimiento con varias veces menos volatilidad y caídas. Así que la respuesta práctica a la pregunta de elegir Kelly para estrategias suena así: calcula el Kelly completo con honestidad — pero apuesta una fracción de él, además de límites de riesgo estrictos.

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