策略的凯利公式：如何确定仓位大小并分配资本

正期望策略也可能因为下注规模失误而爆仓。我们从公式推导一路讲到策略组合，剖析凯利公式：为什么 full Kelly 很危险，分数凯利如何用一半的波动率换来 75% 的增长，以及在量化交易中真正可用的仓位配方是什么。文章中段有一个交互式计算器，让你直观看到凯利比例如何牵动收益与风险。

任何策略都必须回答的那个问题

你有一个具备正向优势（edge）的策略：长期来看它能赚钱。剩下的只有一个细节——单笔交易该投入多少比例的资本，或者一个策略该分配多少资本。

这不是次要问题，而是核心问题。正的数学期望并不能让你免于爆仓：押注太多——一连串失利就会把账户拖进一个统计上无法回归的区域（见 盈亏的不对称性）。押注太少——你又会把大部分潜在增长白白留在桌上。

凯利公式给出了精确答案：它是那个能最大化长期增长速度的资本比例——是几何增长，而非算术增长。正是几何增长决定了你的账户在一千笔交易后会落在哪里，因为收益是相乘的，而不是相加的（见 收益的乘法本质）。

公式从何而来：最大化资本的对数

凯利（1956）以及之后索普的核心思想是：需要优化的不是单笔交易的期望利润，而是最终资本的期望对数。对数的出现并非偶然——它是唯一一个在最大化时能让资本以最大几何速度增长的函数。

二元情形：有两种结果的下注

设以概率 $p$，下注每单位带来净赔付 $b$（赔率），而以概率 $q = 1 - p$，我们输掉本金。我们押上资本的比例 $f$。一笔交易后，赢时资本乘以 $(1 + fb)$，输时乘以 $(1 - f)$。

期望对数增长：

$g(f) = p \ln(1 + fb) + q \ln(1 - f)$

对 $f$ 求导并令其为零：

$g'(f) = \frac{pb}{1 + fb} - \frac{q}{1 - f} = 0$

解出来就是凯利公式：

$f^{*} = \frac{pb - q}{b} = p - \frac{q}{b}$

用文字说：最优比例等于你的优势除以赔率。没有优势（$pb = q$）——就不下注。

示例

某策略在 55% 的交易中获胜，赔付比为 1:1（$b = 1$）：

$f^{*} = p - \frac{q}{b} = 0.55 - \frac{0.45}{1} = 0.10$

full Kelly 要求每笔交易拿 10% 的资本去冒险。记住这个数字——下文我们会看到，为什么几乎没人应该恰好押这么多。

连续情形：用收益率代替下注

在交易中，一笔交易很少表现为只有两种结果的下注——存在的是一个收益率分布。对于单期均值为 $\mu$、方差为 $\sigma^2$ 的收益率，在杠杆（比例）$f$ 下的期望对数增长近似等于：

$g(f) \approx f\mu - \tfrac{1}{2} f^{2}\sigma^{2}$

最大值在以下处取得：

$\boxed{\,f^{*} = \dfrac{\mu}{\sigma^{2}}\,}$

这就是著名的凯利连续形式（也叫默顿比例）。而最优点处的增长速度与夏普比率 $\mathrm{SR} = \mu / \sigma$ 的关系优美到了极致：

$g(f^{*}) = \frac{\mu^{2}}{2\sigma^{2}} = \frac{\mathrm{SR}^{2}}{2}$

一个值得挂在墙上的结论：组合的最大几何增长速度等于其夏普比率平方的一半。夏普翻倍——资本增长速度就翻四倍。

为什么 full Kelly 太过头了

公式给出的是关于增长的数学最优。但这个最优有一个公式没有说出的代价：路径的可怕波动和回撤，任何真实账户、任何真实的人都会在这上面崩溃。

偏离最优点的几何

把比例 $c \cdot f^{*}$（其中 $c$ 是凯利乘子：$c = 1$ 是 full Kelly，$c = 0.5$ 是 half Kelly）代入增长公式。相对于最大值，我们得到：

$\frac{g(c)}{g(f^{*})} = 2c - c^{2}$

这条抛物线用一行字讲完了风险管理的全部故事：

三个结论：

1. half Kelly 用一半的波动率拿走 75% 的增长。 从风险/收益比来看，这远好于 full Kelly。
2. 抛物线关于 $c = 1$ 对称。 押 $1.5\times$ 凯利得到的增长与 $0.5\times$ 相同，但波动高三倍。过头比不足受到的惩罚更狠。
3. 在 $2\times$ 凯利处增长归零，再往后就变成负的。即便是一个能赢的策略，过于激进的仓位也会杀死资本。

full Kelly 的回撤：一个让人清醒的公式

对于连续模型，资本曾经跌到初始值某个比例 $\alpha$ 的概率等于：

$P(\text{drawdown to } \alpha) = \alpha^{\frac{2 - c}{c}}$

代入各凯利档位——就得到这张表，看完之后 full Kelly 就不再显得有吸引力了：

在 full Kelly 下，账户在某个时刻经历 50% 回撤的概率等于 50%。这不是尾部情景——这是抛硬币。half Kelly 把它压到 12.5%，quarter Kelly——压到不到一个百分点。而且这还是在理想化的高斯模型里；现实中的肥尾会让实际回撤更深。

计算器：调整凯利比例——观察收益与风险

拖动滑块。上面两个设定策略的优势（获胜概率和赔付率），下面那个是凯利乘子 $c$。看资本增长速度和深度回撤概率如何同时变化。注意文章的主线情节：当从 half 移向 full Kelly 时，增长只涨了一点点，而回撤风险——成倍上升。

把凯利比例滑块在 0.5 和 1.0 附近来回拨一拨：相对最大值的增长从 75% 升到 100%，而 50% 回撤的风险却从 13% 跳到 50%。这正是专业人士活在抛物线左半边的原因。

分数 Kelly 作为行业标准

严肃的管理人几乎从不押 full Kelly。典型区间是 $1/4$ 到 $1/2$ 凯利。除了回撤之外，还有四个根本性的理由去削减比例。

1. 参数估计误差。 公式假设你知道真实的 $p$、$b$、$\mu$、$\sigma$。而实际上你是在用有限样本去估计它们。增长函数又是不对称的：高估优势会把你推到最优点之外，那里增长下跌的速度比同等幅度低估时增长上涨的速度更快。如果真实凯利为 $f^{*}$，而你带误差地估计了它，那么系统性地押少一些会更安全。粗略规则：估计存在不确定性时，把比例减半。

2. 非平稳性。 策略的优势不是常数——市场状态会变，edge 会衰减，竞争对手会复制你的想法。用昨天的数据算出的凯利，到了明天可能就偏高了。分数乘子是应对 edge 衰减的缓冲垫。

3. 肥尾。 高斯公式 $f^{*} = \mu/\sigma^2$ 低估了极端波动的风险。在现实中具有重尾的分布上，它会系统性地下注过头。分数 Kelly 在一定程度上补偿了这一点。

4. 业务上回撤的成本。 对做市商而言，回撤不只是心理问题。它意味着追加保证金、在最糟糕的时刻被迫减仓、投资者资本流出、融资成本上升（见 funding rates 如何杀死杠杆）。一条平滑的资本曲线本身就有独立的价值，而凯利公式里并没有这一项。

策略组合的 Kelly

到目前为止我们谈的都是单一策略。但真正的问题是复数意义上的为多个策略选择凯利：你有好几个策略，需要在它们之间分配资本。

朴素的做法——为每个策略单独算凯利再相加——是灾难性地错误，因为它忽略了相关性。两个高度相关的策略，本质上就是一个加倍的下注，总风险必须按一个来算。

矩阵形式

对于期望收益向量 $\boldsymbol{\mu}$ 和协方差矩阵 $\boldsymbol{\Sigma}$，一次性求出所有策略的最优比例向量：

$\boxed{\,\mathbf{f}^{*} = \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu}\,}$

最优点处的增长速度推广为组合夏普的平方：

$g(\mathbf{f}^{*}) = \tfrac{1}{2}\, \boldsymbol{\mu}^{\top} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu} = \tfrac{1}{2}\,\mathrm{SR}_{\text{portfolio}}^{2}$

请注意：$\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{\mu}$ 正是最大夏普组合（切点组合）的方向。凯利和均值-方差优化是同一枚硬币的两面：凯利只是把杠杆水平固定在那个能最大化几何增长的水平上。

协方差逆矩阵在做什么

• 相关的策略分摊风险预算。 如果两个策略几乎相同，矩阵会把它们的总比例削减到一个策略的水平——自动完成，不需要手工打补丁。
• 不相关的策略获得分散化溢价。 它们可以保持在接近各自单独的规模，而组合的总夏普会高于其中任何一个。
• 负相关的策略可能获得加大的比例——它们互相对冲，矩阵会鼓励这一点。

关于估计 $\boldsymbol{\Sigma}$ 的警告

协方差矩阵求逆在数值上是不稳定的：在有噪声的估计上，$\boldsymbol{\Sigma}^{-1}$ 会把微小误差放大成离谱的权重。协方差向对角线的收缩（shrinkage）、杠杆约束以及同一个分数乘子都是必须的。没有这些，矩阵凯利会给出在回测上漂亮、在实盘中致命的比例。

量化交易与做市的修正

纯粹的公式活在一个无菌的世界里。在真实的引擎中需要做修正。

• 手续费和滑点 会削减有效优势。请用扣除所有成本之后的收益率来算凯利，否则你会系统性地下注过头。
• 下注的离散性和手数 让你无法恰好押到 $f^{*}$——请向下取整，而不是向上。
• 非平稳的 edge 需要随时间重新计算：用带半衰期的滑动窗口去估计 $\mu$ 和 $\sigma$，而不是用全部历史。
• 回撤约束。 在凯利之上设一个硬上限：最大回撤、最大杠杆、单策略最大比例。存在正式的带回撤约束的凯利版本（Bassett、Boyd），但实践中一个简单的上限就够了。
• 诚实评估 edge。 最大的错误是把样本内（in-sample）测出来的优势喂给凯利。只取样本外（out-of-sample）的估计，走 walk-forward，扣除手续费之后。喂进公式的 edge 被高估了——出来的下注就被高估了。

配方：如何应用

1. 诚实地评估优势。 样本外、走 walk-forward、扣除手续费和滑点。这是最重要的一步——输入端的垃圾会在输出端变成爆仓。
2. 算出 full Kelly。 离散结果用二元式 $f^{*} = p - q/b$，收益率用连续式 $f^{*} = \mu/\sigma^2$。
3. 取一个分数。 默认是 full Kelly 的 $1/4$–$1/2$。edge 越不稳定——乘子就越小。
4. 组合就用矩阵算。 $\mathbf{f}^{*} = \boldsymbol{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{\mu}$，对协方差做收缩，然后用同一个分数乘子。
5. 设硬性上限。 单仓位上限、杠杆上限、回撤限制——凌驾于一切之上。
6. 重新计算。 随着估计的更新，在不确定性上升和 edge 衰减时削减比例。

代码

import numpy as np

def kelly_binary(p, b):
    """p — 获胜概率，b — 每 1 单位下注的净赔付率。"""
    q = 1 - p
    return (b * p - q) / b          # = p - q/b

def kelly_continuous(mu, sigma):
    """mu, sigma — 单期收益率的均值和标准差（同一单位）。"""
    return mu / sigma ** 2

def kelly_portfolio(mu, cov, shrink=0.0):
    """策略组合的矩阵凯利。
    mu  — 期望收益向量；
    cov — 收益率的协方差矩阵；
    shrink — 向对角线收缩的系数（0..1），用于求逆的稳定性。"""
    cov = np.asarray(cov, float)
    if shrink:
        cov = (1 - shrink) * cov + shrink * np.diag(np.diag(cov))
    return np.linalg.solve(cov, np.asarray(mu, float))

def sized(f_star, kelly_fraction=0.25, cap=0.2):
    """带比例硬上限的分数凯利。"""
    return float(np.clip(f_star * kelly_fraction, -cap, cap))

f = kelly_binary(p=0.55, b=1.0)    # 0.10 — full Kelly
print(sized(f))                    # 0.025 — quarter Kelly，安全的规模

常见错误

• 在样本内 edge 上用凯利。 最昂贵的错误。被高估的优势 → 下注过头 → 负增长。
• 忽略策略之间的相关性。 单个凯利之和不等于组合凯利。
• 在实盘中用 full Kelly。 增长的数学最大值，但有 50% 的概率回撤掉一半本金。几乎不适合任何人。
• 在不稳定的 edge 上用凯利。 如果优势在衰减，公式会系统性地高估下注。
• 混淆目标。 凯利最大化的是资本的几何增长——不是夏普，不是保持盈利的概率，也不是舒适度。如果你更看重曲线的平滑，那就有意识地押分数凯利。

总结

凯利公式用一个最大化长期几何增长的公式，回答了任何策略的核心问题——押多少：下注用 $f^{*} = p - q/b$，收益率用 $f^{*} = \mu/\sigma^2$，组合则用 $\mathbf{f}^{*} = \boldsymbol{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{\mu}$。

但 full Kelly 是关于增长的数学最优，而非关于存活的最优。分数 Kelly（$1/4$–$1/2$）用成倍更小的波动和回撤，拿走了大部分增长。所以关于为策略选择凯利这个问题，实战上的答案是这样的：诚实地算出 full Kelly——然后只押它的一个分数，并凌驾于硬性风险限额之上。

相关阅读：

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• 收益的乘法本质
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