Das Kelly-Kriterium für Strategien: Positionsgrößen und Kapitalallokation richtig bestimmen

Eine Strategie mit positivem Erwartungswert kann dein Konto trotzdem sprengen, wenn die Positionsgröße falsch gewählt ist. Wir leiten das Kelly-Kriterium her – von der Formel bis zum Strategie-Portfolio: warum volles Kelly gefährlich ist, wie fraktionales Kelly 75% des Wachstums bei halber Volatilität liefert, und welches Sizing-Rezept du im algorithmischen Trading tatsächlich anwenden solltest. In der Mitte des Artikels findest du einen interaktiven Rechner, der zeigt, wie der Kelly-Anteil Rendite und Risiko verschiebt.

Die Frage, die jede Strategie beantworten muss

Du hast eine Strategie mit einem positiven Edge: Auf lange Sicht macht sie Gewinn. Eine Frage bleibt offen – welcher Anteil des Kapitals in einen einzelnen Trade fließt oder auf eine einzelne Strategie entfällt.

Das ist keine Nebenfrage, sondern die zentrale. Ein positiver Erwartungswert bewahrt nicht vor dem Ruin: Setzt du zu viel, treibt dich eine Verlustserie in eine Zone, aus der es statistisch keine Erholung mehr gibt (siehe Die Asymmetrie von Verlusten und Gewinnen). Setzt du zu wenig, lässt du den Großteil des möglichen Wachstums liegen.

Das Kelly-Kriterium liefert eine präzise Antwort: Es ist der Kapitalanteil, der die langfristige Wachstumsrate maximiert – die geometrische, nicht die arithmetische. Die geometrische Wachstumsrate bestimmt, wo dein Konto nach tausend Trades landet, weil sich Renditen multiplizieren statt addieren (siehe Die multiplikative Natur von Renditen).

Woher die Formel kommt: die Maximierung des Logarithmus des Kapitals

Die Kernidee von Kelly (1956) und später Thorp: Optimiert werden sollte nicht der erwartete Gewinn eines einzelnen Trades, sondern der erwartete Logarithmus des Endkapitals. Der Logarithmus taucht nicht zufällig auf – er ist die einzige Funktion, deren Maximierung das Kapital mit der maximalen geometrischen Rate wachsen lässt.

Der binäre Fall: eine Wette mit zwei Ausgängen

Angenommen, mit Wahrscheinlichkeit $p$ bringt die Wette eine Nettoauszahlung von $b$ pro Einheit (die Quote), und mit Wahrscheinlichkeit $q = 1 - p$ verlieren wir den Einsatz selbst. Wir setzen einen Anteil $f$ unseres Kapitals. Nach einem Trade wird das Kapital bei einem Gewinn mit $(1 + fb)$ und bei einem Verlust mit $(1 - f)$ multipliziert.

Erwartetes logarithmisches Wachstum:

$g(f) = p \ln(1 + fb) + q \ln(1 - f)$

Ableitung nach $f$ bilden und gleich null setzen:

$g'(f) = \frac{pb}{1 + fb} - \frac{q}{1 - f} = 0$

Die Lösung ist die Kelly-Formel:

$f^{*} = \frac{pb - q}{b} = p - \frac{q}{b}$

In Worten: Der optimale Anteil entspricht deinem Edge geteilt durch die Quote. Kein Edge ($pb = q$) – keine Wette.

Beispiel

Eine Strategie gewinnt 55% der Trades bei einem Auszahlungsverhältnis von 1:1 ($b = 1$):

$f^{*} = p - \frac{q}{b} = 0.55 - \frac{0.45}{1} = 0.10$

Volles Kelly sagt dir, 10% des Kapitals pro Trade zu riskieren. Merke dir diese Zahl – weiter unten sehen wir, warum fast niemand genau so viel setzen sollte.

Der kontinuierliche Fall: Renditen statt Wetten

Im Trading sieht ein Trade selten aus wie eine Wette mit zwei Ausgängen – es gibt eine Renditeverteilung. Für Renditen mit Mittelwert $\mu$ und Varianz $\sigma^2$ pro Periode ist das erwartete logarithmische Wachstum bei Hebel (Anteil) $f$ näherungsweise:

$g(f) \approx f\mu - \tfrac{1}{2} f^{2}\sigma^{2}$

Das Maximum wird erreicht bei:

$\boxed{\,f^{*} = \dfrac{\mu}{\sigma^{2}}\,}$

Das ist die berühmte kontinuierliche Form von Kelly (auch bekannt als Merton-Anteil). Und die Wachstumsrate im Optimum ist auf bemerkenswert elegante Weise mit der Sharpe Ratio $\mathrm{SR} = \mu / \sigma$ verknüpft:

$g(f^{*}) = \frac{\mu^{2}}{2\sigma^{2}} = \frac{\mathrm{SR}^{2}}{2}$

Eine Erkenntnis, die man sich einprägen sollte: Die maximale geometrische Wachstumsrate eines Portfolios entspricht der Hälfte des Quadrats seiner Sharpe Ratio. Verdoppelst du die Sharpe Ratio, vervierfachst du die Wachstumsrate des Kapitals.

Warum volles Kelly zu viel ist

Die Formel liefert das mathematische Optimum für Wachstum. Aber dieses Optimum hat einen Preis, über den die Formel schweigt: monströse Pfadvolatilität und Drawdowns, die jedes reale Konto und jeden realen Menschen brechen.

Die Geometrie der Abweichung vom Optimum

Setze den Anteil $c \cdot f^{*}$ (wobei $c$ der Kelly-Multiplikator ist: $c = 1$ ist volles Kelly, $c = 0.5$ ist halbes Kelly) in die Wachstumsformel ein. Relativ zum Maximum erhalten wir:

$\frac{g(c)}{g(f^{*})} = 2c - c^{2}$

Diese Parabel erzählt die gesamte Geschichte des Risikomanagements in einer einzigen Zeile:

Drei Erkenntnisse:

1. Halbes Kelly liefert 75% des Wachstums bei halber Volatilität. Auf Risiko-Rendite-Basis ist das deutlich besser als volles Kelly.
2. Die Parabel ist symmetrisch um $c = 1$. Ein Einsatz von $1.5\times$ Kelly bringt dasselbe Wachstum wie $0.5\times$, ist aber dreimal so volatil. Überschreiten wird härter bestraft als Unterschreiten.
3. Bei $2\times$ Kelly geht das Wachstum gegen null, und darüber hinaus wird es negativ. Zu aggressives Sizing tötet Kapital selbst bei einer profitablen Strategie.

Drawdowns bei vollem Kelly: die Formel, die nüchtern macht

Für das kontinuierliche Modell entspricht die Wahrscheinlichkeit, dass das Kapital jemals auf einen Anteil $\alpha$ seines Ausgangswerts fällt:

$P(\text{Drawdown auf } \alpha) = \alpha^{\frac{2 - c}{c}}$

Setze die Kelly-Niveaus ein – und du erhältst eine Tabelle, nach der volles Kelly nicht mehr attraktiv wirkt:

Bei vollem Kelly beträgt die Wahrscheinlichkeit, jemals einen 50%-Drawdown zu erleben, 50%. Das ist kein Tail-Szenario – das ist ein Münzwurf. Halbes Kelly drückt sie auf 12.5%, viertel Kelly auf einen Bruchteil eines Prozents. Und das ist in einem idealisierten Gauß-Modell; reale Fat Tails machen tatsächliche Drawdowns noch tiefer.

Der Rechner: Kelly-Anteil verschieben – Rendite und Risiko beobachten

Bewege die Regler. Die oberen beiden setzen den Edge der Strategie (Gewinnwahrscheinlichkeit und Auszahlungsverhältnis), der untere setzt den Kelly-Multiplikator $c$. Beobachte, wie sich Wachstumsrate des Kapitals und Wahrscheinlichkeit eines tiefen Drawdowns gleichzeitig verändern. Achte auf den zentralen Plot des Artikels: Beim Übergang von halbem zu vollem Kelly steigt das Wachstum nur leicht, während das Drawdown-Risiko um ein Vielfaches steigt.

Bewege den Kelly-Anteil-Regler um die Werte 0.5 und 1.0: Das Wachstum im Vergleich zum Maximum steigt von 75% auf 100%, aber das Risiko eines 50%-Drawdowns springt von 13% auf 50%. Genau deshalb leben Profis in der linken Hälfte der Parabel.

Fraktionales Kelly als Industriestandard

Ernsthafte Manager setzen fast nie volles Kelly. Der typische Bereich reicht von $1/4$ bis $1/2$ Kelly. Über Drawdowns hinaus gibt es vier grundlegende Gründe, den Anteil zu reduzieren.

1. Fehler bei der Parameterschätzung. Die Formel setzt voraus, dass du die wahren Werte $p$, $b$, $\mu$, $\sigma$ kennst. In der Realität schätzt du sie aus einer endlichen Stichprobe. Und die Wachstumsfunktion ist asymmetrisch: Eine Überschätzung des Edge treibt dich über das Optimum hinaus, wo das Wachstum schneller fällt, als es bei derselben Unterschätzung steigt. Wenn das wahre Kelly $f^{*}$ entspricht und du es mit Fehler geschätzt hast, ist es sicherer, systematisch weniger zu setzen. Faustregel: Bei unsicherer Schätzung den Anteil halbieren.

2. Nicht-Stationarität. Der Edge einer Strategie ist keine Konstante – Marktregime ändern sich, der Edge zerfällt, Konkurrenten kopieren die Idee. Das aus gestrigen Daten berechnete Kelly kann sich morgen als überschätzt herausstellen. Ein fraktionaler Multiplikator ist ein Puffer gegen den Zerfall des Edge.

3. Fat Tails. Die Gauß-Formel $f^{*} = \mu/\sigma^2$ unterschätzt das Risiko extremer Bewegungen. Bei realen, schwerschwänzigen Verteilungen führt sie systematisch zu Übersetzung. Fraktionales Kelly gleicht dies teilweise aus.

4. Die Kosten von Drawdowns im Geschäft. Für einen Market Maker ist ein Drawdown nicht nur Psychologie. Es sind Margin Calls, erzwungene Positionsreduktionen im ungünstigsten Moment, Kapitalabflüsse von Investoren, steigende Finanzierungskosten (siehe Wie Funding Rates Leverage töten). Eine glatte Equity-Kurve hat einen eigenständigen Wert, der in der Kelly-Formel fehlt.

Kelly für ein Portfolio von Strategien

Bisher haben wir über eine einzelne Strategie gesprochen. Aber die eigentliche Frage ist die Wahl von Kelly für Strategien im Plural: Du hast mehrere Strategien und musst das Kapital zwischen ihnen aufteilen.

Der naive Ansatz – Kelly für jede einzeln berechnen und addieren – ist katastrophal falsch, weil er Korrelationen ignoriert. Zwei stark korrelierte Strategien sind im Grunde eine verdoppelte Wette, und das Gesamtrisiko muss wie bei einer einzigen betrachtet werden.

Die Matrixform

Für einen Vektor erwarteter Renditen $\boldsymbol{\mu}$ und eine Kovarianzmatrix $\boldsymbol{\Sigma}$ ergibt sich der optimale Vektor der Anteile über alle Strategien gleichzeitig:

$\boxed{\,\mathbf{f}^{*} = \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu}\,}$

Die Wachstumsrate im Optimum verallgemeinert sich zum Quadrat der Portfolio-Sharpe-Ratio:

$g(\mathbf{f}^{*}) = \tfrac{1}{2}\, \boldsymbol{\mu}^{\top} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu} = \tfrac{1}{2}\,\mathrm{SR}_{\text{portfolio}}^{2}$

Beachte: $\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{\mu}$ ist die Richtung des Portfolios mit maximaler Sharpe Ratio (das Tangentialportfolio). Kelly und Mean-Variance-Optimierung sind zwei Seiten derselben Medaille: Kelly legt lediglich das Hebelniveau fest, das das geometrische Wachstum maximiert.

Was die inverse Kovarianz bewirkt

• Korrelierte Strategien teilen sich das Risikobudget. Sind zwei Strategien nahezu identisch, kürzt die Matrix ihren kombinierten Anteil automatisch auf das Niveau einer einzigen – ohne manuelle Eingriffe.
• Unkorrelierte Strategien erhalten eine Diversifikationsprämie. Sie können näher an ihrer individuellen Größe gehalten werden, und die Gesamt-Sharpe-Ratio des Portfolios wird höher sein als bei jeder einzelnen.
• Negativ korrelierte Strategien können erhöhte Anteile erhalten – sie hedgen sich gegenseitig, und die Matrix belohnt das.

Eine Warnung zur Schätzung von $\boldsymbol{\Sigma}$

Die Inversion einer Kovarianzmatrix ist numerisch instabil: Bei verrauschten Schätzungen bläht $\boldsymbol{\Sigma}^{-1}$ kleine Fehler zu wilden Gewichten auf. Shrinkage der Kovarianz zur Diagonalen hin, Leverage-Obergrenzen und derselbe fraktionale Multiplikator sind Pflicht. Ohne sie liefert Matrix-Kelly Anteile, die im Backtest wunderschön aussehen und in der Produktion tödlich sind.

Anpassungen für algorithmisches Trading und Market Making

Die reine Formel lebt in einer sterilen Welt. In einer echten Engine brauchst du Anpassungen.

• Kommissionen und Slippage reduzieren den effektiven Edge. Berechne Kelly auf Renditen nach allen Kosten, sonst wirst du systematisch übersetzen.
• Diskretheit der Wetten und Lot-Größen verhindern, dass du exakt $f^{*}$ setzt – runde ab, nicht auf.
• Ein nicht-stationärer Edge erfordert Neuberechnung im Zeitverlauf: Schätzungen von $\mu$ und $\sigma$ auf einem rollierenden Fenster mit Halbwertszeit, nicht über die gesamte Historie.
• Eine Drawdown-Beschränkung. Setze zusätzlich zu Kelly eine harte Obergrenze: maximaler Drawdown, maximaler Hebel, maximaler Anteil pro einzelner Strategie. Formale drawdown-beschränkte Kelly-Versionen existieren (Busseti, Boyd), aber in der Praxis reicht ein einfaches Cap.
• Ehrlichkeit bei der Edge-Schätzung. Der Hauptfehler besteht darin, Kelly mit einem in-sample gemessenen Edge zu füttern. Nimm nur eine Out-of-Sample-Schätzung, auf Walk-Forward-Basis, nach Kommissionen. Ein überschätzter Edge, der in die Formel eingeht, bedeutet eine überschätzte Wette, die herauskommt.

Das Rezept: wie man das anwendet

1. Schätze den Edge ehrlich. Out-of-Sample, auf Walk-Forward-Basis, nach Kommissionen und Slippage. Das ist der wichtigste Schritt – Müll rein wird zu Ruin raus.
2. Berechne volles Kelly. Binär $f^{*} = p - q/b$ für diskrete Ausgänge oder kontinuierlich $f^{*} = \mu/\sigma^2$ für Renditen.
3. Nimm einen Bruchteil. Standardmäßig $1/4$–$1/2$ des vollen Kelly. Je weniger robust der Edge, desto kleiner der Multiplikator.
4. Für ein Portfolio berechne in Matrixform. $\mathbf{f}^{*} = \boldsymbol{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{\mu}$ mit Kovarianz-Shrinkage, dann derselbe fraktionale Multiplikator.
5. Setze harte Obergrenzen. Maximum pro Position, maximaler Hebel, ein Drawdown-Limit – zusätzlich zu allem anderen.
6. Berechne neu. Wenn sich die Schätzungen aktualisieren, kürze den Anteil, wenn die Unsicherheit steigt und der Edge zerfällt.

Code

import numpy as np

def kelly_binary(p, b):
    """p — win probability, b — net payout ratio per 1 unit of stake."""
    q = 1 - p
    return (b * p - q) / b          # = p - q/b

def kelly_continuous(mu, sigma):
    """mu, sigma — mean and standard deviation of period returns (in the same units)."""
    return mu / sigma ** 2

def kelly_portfolio(mu, cov, shrink=0.0):
    """Matrix Kelly for a portfolio of strategies.
    mu  — vector of expected returns;
    cov — covariance matrix of returns;
    shrink — shrinkage coefficient toward the diagonal (0..1) for stable inversion."""
    cov = np.asarray(cov, float)
    if shrink:
        cov = (1 - shrink) * cov + shrink * np.diag(np.diag(cov))
    return np.linalg.solve(cov, np.asarray(mu, float))

def sized(f_star, kelly_fraction=0.25, cap=0.2):
    """Fractional Kelly with a hard cap on the fraction."""
    return float(np.clip(f_star * kelly_fraction, -cap, cap))

f = kelly_binary(p=0.55, b=1.0)    # 0.10 — full Kelly
print(sized(f))                    # 0.025 — quarter Kelly, a safe size

Häufige Fehler

• Kelly auf einem In-Sample-Edge. Der teuerste Fehler. Ein überschätzter Edge → Übersetzung → negatives Wachstum.
• Korrelationen zwischen Strategien ignorieren. Die Summe individueller Kelly-Werte ist nicht das Portfolio-Kelly.
• Volles Kelly in der Produktion. Das mathematische Maximum des Wachstums, aber eine 50%-Chance auf einen Drawdown zur Kontohälfte. Passt zu fast niemandem.
• Kelly mit instabilem Edge. Wenn der Edge zerfällt, überschätzt die Formel systematisch die Wette.
• Ziele verwechseln. Kelly maximiert das geometrische Wachstum des Kapitals – nicht die Sharpe Ratio, nicht die Wahrscheinlichkeit, in den schwarzen Zahlen zu bleiben, und nicht Komfort. Wenn dir eine glatte Kurve wichtiger ist, setze bewusst fraktionales Kelly.

Fazit

Das Kelly-Kriterium beantwortet die zentrale Frage jeder Strategie – wie viel zu setzen ist – mit einer Formel, die das langfristige geometrische Wachstum maximiert: $f^{*} = p - q/b$ für Wetten und $f^{*} = \mu/\sigma^2$ für Renditen, und für ein Portfolio – $\mathbf{f}^{*} = \boldsymbol{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{\mu}$.

Aber volles Kelly ist das mathematische Optimum für Wachstum, nicht für Überleben. Fraktionales Kelly ($1/4$–$1/2$) erfasst den Großteil des Wachstums bei mehrfach geringerer Volatilität und geringeren Drawdowns. Die praktische Antwort auf die Frage der Kelly-Wahl für Strategien lautet also: Berechne volles Kelly ehrlich – aber setze nur einen Bruchteil davon, zusätzlich zu harten Risikolimits.

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