策略的凱利公式：如何確定倉位大小並分配資本

正期望策略也可能因為下注規模失誤而爆倉。我們從公式推導一路講到策略組合，剖析凱利公式：為什麼 full Kelly 很危險，分數凱利如何用一半的波動率換來 75% 的增長，以及在量化交易中真正可用的倉位配方是什麼。文章中段有一個互動式計算器，讓你直觀看到凱利比例如何牽動收益與風險。

任何策略都必須回答的那個問題

你有一個具備正向優勢（edge）的策略：長期來看它能賺錢。剩下的只有一個細節——單筆交易該投入多少比例的資本，或者一個策略該分配多少資本。

這不是次要問題，而是核心問題。正的數學期望並不能讓你免於爆倉：押注太多——一連串失利就會把賬戶拖進一個統計上無法迴歸的區域（見 盈虧的不對稱性）。押注太少——你又會把大部分潛在增長白白留在桌上。

凱利公式給出了精確答案：它是那個能最大化長期增長速度的資本比例——是幾何增長，而非算術增長。正是幾何增長決定了你的賬戶在一千筆交易後會落在哪裡，因為收益是相乘的，而不是相加的（見 收益的乘法本質）。

公式從何而來：最大化資本的對數

凱利（1956）以及之後索普的核心思想是：需要最佳化的不是單筆交易的期望利潤，而是最終資本的期望對數。對數的出現並非偶然——它是唯一一個在最大化時能讓資本以最大幾何速度增長的函數。

二元情形：有兩種結果的下注

設以機率 $p$，下注每單位帶來淨賠付 $b$（賠率），而以機率 $q = 1 - p$，我們輸掉本金。我們押上資本的比例 $f$。一筆交易後，贏時資本乘以 $(1 + fb)$，輸時乘以 $(1 - f)$。

期望對數增長：

$g(f) = p \ln(1 + fb) + q \ln(1 - f)$

對 $f$ 求導並令其為零：

$g'(f) = \frac{pb}{1 + fb} - \frac{q}{1 - f} = 0$

解出來就是凱利公式：

$f^{*} = \frac{pb - q}{b} = p - \frac{q}{b}$

用文字說：最優比例等於你的優勢除以賠率。沒有優勢（$pb = q$）——就不下注。

示例

某策略在 55% 的交易中獲勝，賠付比為 1:1（$b = 1$）：

$f^{*} = p - \frac{q}{b} = 0.55 - \frac{0.45}{1} = 0.10$

full Kelly 要求每筆交易拿 10% 的資本去冒險。記住這個數字——下文我們會看到，為什麼幾乎沒人應該恰好押這麼多。

連續情形：用收益率代替下注

在交易中，一筆交易很少表現為只有兩種結果的下注——存在的是一個收益率分佈。對於單期均值為 $\mu$、方差為 $\sigma^2$ 的收益率，在槓桿（比例）$f$ 下的期望對數增長近似等於：

$g(f) \approx f\mu - \tfrac{1}{2} f^{2}\sigma^{2}$

最大值在以下處取得：

$\boxed{\,f^{*} = \dfrac{\mu}{\sigma^{2}}\,}$

這就是著名的凱利連續形式（也叫默頓比例）。而最優點處的增長速度與夏普比率 $\mathrm{SR} = \mu / \sigma$ 的關係優美到了極致：

$g(f^{*}) = \frac{\mu^{2}}{2\sigma^{2}} = \frac{\mathrm{SR}^{2}}{2}$

一個值得掛在牆上的結論：組合的最大幾何增長速度等於其夏普比率平方的一半。夏普翻倍——資本增長速度就翻四倍。

為什麼 full Kelly 太過頭了

公式給出的是關於增長的數學最優。但這個最優有一個公式沒有說出的代價：路徑的可怕波動和回撤，任何真實賬戶、任何真實的人都會在這上面崩潰。

偏離最優點的幾何

把比例 $c \cdot f^{*}$（其中 $c$ 是凱利乘子：$c = 1$ 是 full Kelly，$c = 0.5$ 是 half Kelly）代入增長公式。相對於最大值，我們得到：

$\frac{g(c)}{g(f^{*})} = 2c - c^{2}$

這條拋物線用一行字講完了風險管理的全部故事：

三個結論：

1. half Kelly 用一半的波動率拿走 75% 的增長。 從風險/收益比來看，這遠好於 full Kelly。
2. 拋物線關於 $c = 1$ 對稱。 押 $1.5\times$ 凱利得到的增長與 $0.5\times$ 相同，但波動高三倍。過頭比不足受到的懲罰更狠。
3. 在 $2\times$ 凱利處增長歸零，再往後就變成負的。即便是一個能贏的策略，過於激進的倉位也會殺死資本。

full Kelly 的回撤：一個讓人清醒的公式

對於連續模型，資本曾經跌到初始值某個比例 $\alpha$ 的機率等於：

$P(\text{drawdown to } \alpha) = \alpha^{\frac{2 - c}{c}}$

代入各凱利檔位——就得到這張表，看完之後 full Kelly 就不再顯得有吸引力了：

在 full Kelly 下，賬戶在某個時刻經歷 50% 回撤的機率等於 50%。這不是尾部情景——這是拋硬幣。half Kelly 把它壓到 12.5%，quarter Kelly——壓到不到一個百分點。而且這還是在理想化的高斯模型裡；現實中的肥尾會讓實際回撤更深。

計算器：調整凱利比例——觀察收益與風險

拖動滑塊。上面兩個設定策略的優勢（獲勝機率和賠付率），下面那個是凱利乘子 $c$。看資本增長速度和深度回撤機率如何同時變化。注意文章的主線情節：當從 half 移向 full Kelly 時，增長只漲了一點點，而回撤風險——成倍上升。

把凱利比例滑塊在 0.5 和 1.0 附近來回撥一撥：相對最大值的增長從 75% 升到 100%，而 50% 回撤的風險卻從 13% 跳到 50%。這正是專業人士活在拋物線左半邊的原因。

分數 Kelly 作為行業標準

嚴肅的管理人幾乎從不押 full Kelly。典型區間是 $1/4$ 到 $1/2$ 凱利。除了回撤之外，還有四個根本性的理由去削減比例。

1. 參數估計誤差。 公式假設你知道真實的 $p$、$b$、$\mu$、$\sigma$。而實際上你是在用有限樣本去估計它們。增長函數又是不對稱的：高估優勢會把你推到最優點之外，那裡增長下跌的速度比同等幅度低估時增長上漲的速度更快。如果真實凱利為 $f^{*}$，而你帶誤差地估計了它，那麼系統性地押少一些會更安全。粗略規則：估計存在不確定性時，把比例減半。

2. 非平穩性。 策略的優勢不是常數——市場狀態會變，edge 會衰減，競爭對手會複製你的想法。用昨天的資料算出的凱利，到了明天可能就偏高了。分數乘子是應對 edge 衰減的緩衝墊。

3. 肥尾。 高斯公式 $f^{*} = \mu/\sigma^2$ 低估了極端波動的風險。在現實中具有重尾的分佈上，它會系統性地下注過頭。分數 Kelly 在一定程度上補償了這一點。

4. 業務上回撤的成本。 對做市商而言，回撤不只是心理問題。它意味著追加保證金、在最糟糕的時刻被迫減倉、投資者資本流出、融資成本上升（見 funding rates 如何殺死槓桿）。一條平滑的資本曲線本身就有獨立的價值，而凱利公式裡並沒有這一項。

策略組合的 Kelly

到目前為止我們談的都是單一策略。但真正的問題是複數意義上的為多個策略選擇凱利：你有好幾個策略，需要在它們之間分配資本。

樸素的做法——為每個策略單獨算凱利再相加——是災難性地錯誤，因為它忽略了相關性。兩個高度相關的策略，本質上就是一個加倍的下注，總風險必須按一個來算。

矩陣形式

對於期望收益向量 $\boldsymbol{\mu}$ 和協方差矩陣 $\boldsymbol{\Sigma}$，一次性求出所有策略的最優比例向量：

$\boxed{\,\mathbf{f}^{*} = \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu}\,}$

最優點處的增長速度推廣為組合夏普的平方：

$g(\mathbf{f}^{*}) = \tfrac{1}{2}\, \boldsymbol{\mu}^{\top} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu} = \tfrac{1}{2}\,\mathrm{SR}_{\text{portfolio}}^{2}$

請注意：$\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{\mu}$ 正是最大夏普組合（切點組合）的方向。凱利和均值-方差最佳化是同一枚硬幣的兩面：凱利只是把槓桿水平固定在那個能最大化幾何增長的水平上。

協方差逆矩陣在做什麼

• 相關的策略分攤風險預算。 如果兩個策略幾乎相同，矩陣會把它們的總比例削減到一個策略的水平——自動完成，不需要手工打補丁。
• 不相關的策略獲得分散化溢價。 它們可以保持在接近各自單獨的規模，而組合的總夏普會高於其中任何一個。
• 負相關的策略可能獲得加大的比例——它們互相對沖，矩陣會鼓勵這一點。

關於估計 $\boldsymbol{\Sigma}$ 的警告

協方差矩陣求逆在數值上是不穩定的：在有噪聲的估計上，$\boldsymbol{\Sigma}^{-1}$ 會把微小誤差放大成離譜的權重。協方差向對角線的收縮（shrinkage）、槓桿約束以及同一個分數乘子都是必須的。沒有這些，矩陣凱利會給出在回測上漂亮、在實盤中致命的比例。

量化交易與做市的修正

純粹的公式活在一個無菌的世界裡。在真實的引擎中需要做修正。

• 手續費和滑點 會削減有效優勢。請用扣除所有成本之後的收益率來算凱利，否則你會系統性地下注過頭。
• 下注的離散性和手數 讓你無法恰好押到 $f^{*}$——請向下取整，而不是向上。
• 非平穩的 edge 需要隨時間重新計算：用帶半衰期的滑動視窗去估計 $\mu$ 和 $\sigma$，而不是用全部歷史。
• 回撤約束。 在凱利之上設一個硬上限：最大回撤、最大槓桿、單策略最大比例。存在正式的帶回撤約束的凱利版本（Bassett、Boyd），但實踐中一個簡單的上限就夠了。
• 誠實評估 edge。 最大的錯誤是把樣本內（in-sample）測出來的優勢餵給凱利。只取樣本外（out-of-sample）的估計，走 walk-forward，扣除手續費之後。喂進公式的 edge 被高估了——出來的下注就被高估了。

配方：如何應用

1. 誠實地評估優勢。 樣本外、走 walk-forward、扣除手續費和滑點。這是最重要的一步——輸入端的垃圾會在輸出端變成爆倉。
2. 算出 full Kelly。 離散結果用二元式 $f^{*} = p - q/b$，收益率用連續式 $f^{*} = \mu/\sigma^2$。
3. 取一個分數。 預設是 full Kelly 的 $1/4$–$1/2$。edge 越不穩定——乘子就越小。
4. 組合就用矩陣算。 $\mathbf{f}^{*} = \boldsymbol{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{\mu}$，對協方差做收縮，然後用同一個分數乘子。
5. 設硬性上限。 單倉位上限、槓桿上限、回撤限制——凌駕於一切之上。
6. 重新計算。 隨著估計的更新，在不確定性上升和 edge 衰減時削減比例。

程式碼

import numpy as np

def kelly_binary(p, b):
    """p — 获胜概率，b — 每 1 单位下注的净赔付率。"""
    q = 1 - p
    return (b * p - q) / b          # = p - q/b

def kelly_continuous(mu, sigma):
    """mu, sigma — 单期收益率的均值和标准差（同一单位）。"""
    return mu / sigma ** 2

def kelly_portfolio(mu, cov, shrink=0.0):
    """策略组合的矩阵凯利。
    mu  — 期望收益向量；
    cov — 收益率的协方差矩阵；
    shrink — 向对角线收缩的系数（0..1），用于求逆的稳定性。"""
    cov = np.asarray(cov, float)
    if shrink:
        cov = (1 - shrink) * cov + shrink * np.diag(np.diag(cov))
    return np.linalg.solve(cov, np.asarray(mu, float))

def sized(f_star, kelly_fraction=0.25, cap=0.2):
    """带比例硬上限的分数凯利。"""
    return float(np.clip(f_star * kelly_fraction, -cap, cap))

f = kelly_binary(p=0.55, b=1.0)    # 0.10 — full Kelly
print(sized(f))                    # 0.025 — quarter Kelly，安全的规模

常見錯誤

• 在樣本內 edge 上用凱利。 最昂貴的錯誤。被高估的優勢 → 下注過頭 → 負增長。
• 忽略策略之間的相關性。 單個凱利之和不等於組合凱利。
• 在實盤中用 full Kelly。 增長的數學最大值，但有 50% 的機率回撤掉一半本金。幾乎不適合任何人。
• 在不穩定的 edge 上用凱利。 如果優勢在衰減，公式會系統性地高估下注。
• 混淆目標。 凱利最大化的是資本的幾何增長——不是夏普，不是保持盈利的機率，也不是舒適度。如果你更看重曲線的平滑，那就有意識地押分數凱利。

總結

凱利公式用一個最大化長期幾何增長的公式，回答了任何策略的核心問題——押多少：下注用 $f^{*} = p - q/b$，收益率用 $f^{*} = \mu/\sigma^2$，組合則用 $\mathbf{f}^{*} = \boldsymbol{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{\mu}$。

但 full Kelly 是關於增長的數學最優，而非關於存活的最優。分數 Kelly（$1/4$–$1/2$）用成倍更小的波動和回撤，拿走了大部分增長。所以關於為策略選擇凱利這個問題，實戰上的答案是這樣的：誠實地算出 full Kelly——然後只押它的一個分數，並凌駕於硬性風險限額之上。

相關閱讀：

• 盈虧的不對稱性：殺死賬戶的數學
• 收益的乘法本質
• funding rates 如何殺死槓桿
• 策略級聯的編排