Le critère de Kelly pour les stratégies : comment dimensionner les positions et allouer le capital

Une stratégie à espérance positive peut quand même faire sauter votre compte si la taille de la mise est mal choisie. Nous parcourons le critère de Kelly, de la dérivation de la formule jusqu'à un portefeuille de stratégies : pourquoi le Kelly complet est dangereux, comment le Kelly fractionnaire capture 75% de la croissance avec moitié moins de volatilité, et quelle recette de dimensionnement vous devriez réellement appliquer en trading algorithmique. Au milieu de l'article se trouve une calculatrice interactive qui montre comment la fraction de Kelly déplace le rendement et le risque.

La question à laquelle toute stratégie est tenue de répondre

Vous avez une stratégie avec un edge positif : sur le long terme, elle rapporte de l'argent. Un détail reste à régler — quelle fraction du capital placer dans une seule transaction ou allouer à une seule stratégie.

Ce n'est pas une question secondaire mais la question centrale. Une espérance positive ne vous sauve pas de la ruine : misez trop, et une série de pertes pousse votre compte dans une zone d'où il n'y a pas de récupération statistique possible (voir L'asymétrie des pertes et des gains). Misez trop peu, et vous laissez sur la table l'essentiel de la croissance potentielle.

Le critère de Kelly donne une réponse précise : c'est la fraction de capital qui maximise le taux de croissance à long terme — le taux géométrique, pas l'arithmétique. C'est la croissance géométrique qui détermine où se retrouve votre compte après mille transactions, car les rendements se multiplient plutôt qu'ils ne s'additionnent (voir La nature multiplicative des rendements).

D'où vient la formule : maximiser le logarithme du capital

L'idée clé de Kelly (1956), puis de Thorp : ce qu'il faut optimiser n'est pas le profit espéré d'une seule transaction, mais le logarithme espéré de votre capital final. Le logarithme n'apparaît pas par hasard — c'est la seule fonction dont la maximisation fait croître le capital au taux géométrique maximal.

Le cas binaire : un pari à deux issues

Supposons qu'avec une probabilité $p$ le pari rapporte un gain net de $b$ par unité (la cote), et qu'avec une probabilité $q = 1 - p$ nous perdions la mise elle-même. Nous misons une fraction $f$ de notre capital. Après une transaction, le capital est multiplié par $(1 + fb)$ en cas de gain et par $(1 - f)$ en cas de perte.

Croissance logarithmique espérée :

$g(f) = p \ln(1 + fb) + q \ln(1 - f)$

On dérive par rapport à $f$ et on annule :

$g'(f) = \frac{pb}{1 + fb} - \frac{q}{1 - f} = 0$

La solution est la formule de Kelly :

$f^{*} = \frac{pb - q}{b} = p - \frac{q}{b}$

En clair : la fraction optimale est égale à votre edge divisé par la cote. Pas d'edge ($pb = q$) — pas de pari.

Exemple

Une stratégie gagne 55% des transactions avec un ratio de gain de 1:1 ($b = 1$) :

$f^{*} = p - \frac{q}{b} = 0.55 - \frac{0.45}{1} = 0.10$

Le Kelly complet vous dit de risquer 10% du capital par transaction. Retenez ce chiffre — nous verrons plus bas pourquoi presque personne ne devrait miser exactement ce montant.

Le cas continu : des rendements plutôt que des paris

En trading, une transaction ressemble rarement à un pari à deux issues — il y a une distribution de rendements. Pour des rendements de moyenne $\mu$ et de variance $\sigma^2$ par période, la croissance logarithmique espérée à un levier (fraction) $f$ est approximativement :

$g(f) \approx f\mu - \tfrac{1}{2} f^{2}\sigma^{2}$

Le maximum est atteint en :

$\boxed{\,f^{*} = \dfrac{\mu}{\sigma^{2}}\,}$

C'est la fameuse forme continue de Kelly (aussi connue sous le nom de fraction de Merton). Et le taux de croissance à l'optimum est lié au ratio de Sharpe $\mathrm{SR} = \mu / \sigma$ de façon remarquablement élégante :

$g(f^{*}) = \frac{\mu^{2}}{2\sigma^{2}} = \frac{\mathrm{SR}^{2}}{2}$

Une conclusion à épingler au mur : le taux de croissance géométrique maximal d'un portefeuille est égal à la moitié du carré de son Sharpe. Doublez le Sharpe, et vous quadruplez le taux de croissance du capital.

Pourquoi le Kelly complet est excessif

La formule donne l'optimum mathématique pour la croissance. Mais cet optimum a un prix dont la formule ne dit rien : une volatilité de trajectoire monstrueuse et des drawdowns qui brisent n'importe quel compte réel et n'importe quelle personne réelle.

La géométrie de l'écart à l'optimum

Substituez la fraction $c \cdot f^{*}$ (où $c$ est le multiplicateur de Kelly : $c = 1$ est le Kelly complet, $c = 0.5$ est le demi-Kelly) dans la formule de croissance. Relativement au maximum, on obtient :

$\frac{g(c)}{g(f^{*})} = 2c - c^{2}$

Cette parabole raconte toute l'histoire de la gestion du risque en une seule ligne :

Trois enseignements :

1. Le demi-Kelly capture 75% de la croissance pour la moitié de la volatilité. Sur une base risque/rendement, c'est bien meilleur que le Kelly complet.
2. La parabole est symétrique autour de $c = 1$. Miser $1.5\times$ Kelly donne la même croissance que $0.5\times$, mais est trois fois plus volatile. Le dépassement est puni plus sévèrement que le sous-dimensionnement.
3. À $2\times$ Kelly la croissance tombe à zéro, et au-delà elle devient négative. Un dimensionnement trop agressif tue le capital même pour une stratégie gagnante.

Les drawdowns du Kelly complet : la formule qui dégrise

Pour le modèle continu, la probabilité que le capital tombe un jour à une fraction $\alpha$ de sa valeur initiale est égale à :

$P(\text{drawdown jusqu'à } \alpha) = \alpha^{\frac{2 - c}{c}}$

Insérez les niveaux de Kelly — et vous obtenez un tableau après lequel le Kelly complet cesse de paraître attrayant :

Avec le Kelly complet, la probabilité de voir un jour un drawdown de 50% est de 50%. Ce n'est pas un scénario de queue de distribution — c'est un pile ou face. Le demi-Kelly la ramène à 12.5%, le quart de Kelly à une fraction de pourcent. Et cela dans un modèle gaussien idéalisé ; les vraies queues épaisses rendent les drawdowns réels encore plus profonds.

La calculatrice : déplacez la fraction de Kelly — observez le rendement et le risque

Déplacez les curseurs. Les deux du haut définissent l'edge de la stratégie (probabilité de gain et ratio de gain), celui du bas définit le multiplicateur de Kelly $c$. Observez comment le taux de croissance du capital et la probabilité d'un drawdown profond changent simultanément. Portez attention au graphique principal de l'article : en passant du demi au Kelly complet, la croissance augmente légèrement, tandis que le risque de drawdown augmente plusieurs fois.

Jouez avec le curseur de la fraction de Kelly autour des valeurs 0.5 et 1.0 : la croissance par rapport au maximum monte de 75% à 100%, mais le risque d'un drawdown de 50% bondit de 13% à 50%. C'est exactement pour cela que les professionnels vivent dans la moitié gauche de la parabole.

Le Kelly fractionnaire comme standard de l'industrie

Les gérants sérieux misent presque jamais le Kelly complet. La fourchette typique va de $1/4$ à $1/2$ Kelly. Au-delà des drawdowns, il y a quatre raisons fondamentales de réduire la fraction.

1. Erreur d'estimation des paramètres. La formule suppose que vous connaissez les vraies valeurs de $p$, $b$, $\mu$, $\sigma$. En réalité, vous les estimez à partir d'un échantillon fini. Et la fonction de croissance est asymétrique : surestimer l'edge vous pousse au-delà de l'optimum, où la croissance chute plus vite qu'elle ne monte pour une sous-estimation équivalente. Si le vrai Kelly est $f^{*}$ et que vous l'avez estimé avec une erreur, il est plus sûr de systématiquement miser moins. Règle empirique : quand l'estimation est incertaine, divisez la fraction par deux.

2. La non-stationnarité. L'edge d'une stratégie n'est pas une constante — les régimes de marché changent, l'edge se dégrade, les concurrents copient l'idée. Le Kelly calculé sur les données d'hier peut se révéler surestimé demain. Un multiplicateur fractionnaire est un coussin contre la dégradation de l'edge.

3. Les queues épaisses. La formule gaussienne $f^{*} = \mu/\sigma^2$ sous-estime le risque de mouvements extrêmes. Sur des distributions réelles à queue épaisse, elle sur-mise systématiquement. Le Kelly fractionnaire compense partiellement cela.

4. Le coût des drawdowns dans une entreprise. Pour un market maker, un drawdown n'est pas qu'une question de psychologie. Ce sont des appels de marge, des réductions forcées de position au pire moment, des sorties de capital des investisseurs, un coût de financement croissant (voir Comment les taux de financement tuent le levier). Une courbe d'équité lisse a une valeur intrinsèque qui est absente de la formule de Kelly.

Kelly pour un portefeuille de stratégies

Jusqu'ici, nous avons parlé d'une seule stratégie. Mais la vraie question est le choix du Kelly pour des stratégies au pluriel : vous avez plusieurs stratégies, et vous devez allouer le capital entre elles.

L'approche naïve — calculer le Kelly pour chacune séparément et les additionner — est catastrophiquement erronée, car elle ignore les corrélations. Deux stratégies fortement corrélées sont essentiellement un pari doublé, et le risque total doit être compté comme pour une seule.

La forme matricielle

Pour un vecteur de rendements espérés $\boldsymbol{\mu}$ et une matrice de covariance $\boldsymbol{\Sigma}$, le vecteur optimal des fractions pour toutes les stratégies à la fois :

$\boxed{\,\mathbf{f}^{*} = \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu}\,}$

Le taux de croissance à l'optimum se généralise au carré du Sharpe du portefeuille :

$g(\mathbf{f}^{*}) = \tfrac{1}{2}\, \boldsymbol{\mu}^{\top} \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu} = \tfrac{1}{2}\,\mathrm{SR}_{\text{portfolio}}^{2}$

Remarquez : $\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{\mu}$ est la direction du portefeuille à Sharpe maximal (le portefeuille tangent). Kelly et l'optimisation moyenne-variance sont les deux faces d'une même pièce : Kelly fixe simplement le niveau de levier qui maximise la croissance géométrique.

Ce que fait la covariance inverse

• Les stratégies corrélées se partagent le budget de risque. Si deux stratégies sont presque identiques, la matrice réduira leur fraction combinée au niveau d'une seule — automatiquement, sans bricolage manuel.
• Les stratégies non corrélées reçoivent une prime de diversification. Elles peuvent être maintenues plus près de leur taille individuelle, et le Sharpe total du portefeuille sera plus élevé que chacune prise séparément.
• Les stratégies corrélées négativement peuvent recevoir des fractions accrues — elles se couvrent mutuellement, et la matrice récompense cela.

Un avertissement sur l'estimation de $\boldsymbol{\Sigma}$

Inverser une matrice de covariance est numériquement instable : sur des estimations bruitées, $\boldsymbol{\Sigma}^{-1}$ gonfle de petites erreurs en poids extravagants. Le rétrécissement (shrinkage) de la covariance vers la diagonale, les plafonds de levier et le même multiplicateur fractionnaire sont obligatoires. Sans eux, le Kelly matriciel produit des fractions magnifiques en backtest et mortelles en production.

Ajustements pour le trading algorithmique et le market making

La formule pure vit dans un monde stérile. Dans un moteur réel, il faut des ajustements.

• Les commissions et le slippage réduisent l'edge effectif. Calculez le Kelly sur les rendements après tous les coûts, sinon vous sur-miserez systématiquement.
• La discrétion des mises et la taille des lots vous empêchent de miser exactement $f^{*}$ — arrondissez vers le bas, pas vers le haut.
• Un edge non stationnaire exige un recalcul dans le temps : des estimations de $\mu$ et $\sigma$ sur une fenêtre glissante avec demi-vie, pas sur tout l'historique.
• Une contrainte de drawdown. En plus du Kelly, fixez un plafond dur : drawdown maximal, levier maximal, fraction maximale par stratégie unique. Des versions formelles du Kelly sous contrainte de drawdown existent (Busseti, Boyd), mais en pratique un plafond simple suffit.
• Honnêteté dans l'estimation de l'edge. L'erreur principale est de nourrir le Kelly avec un edge mesuré in-sample. Ne prenez qu'une estimation out-of-sample, en walk-forward, après commissions. Un edge surestimé entrant dans la formule signifie une mise surestimée en sortant.

La recette : comment appliquer cela

1. Estimez l'edge honnêtement. Out-of-sample, en walk-forward, après commissions et slippage. C'est l'étape la plus importante — des données bâclées à l'entrée deviennent une ruine à la sortie.
2. Calculez le Kelly complet. Binaire $f^{*} = p - q/b$ pour des résultats discrets ou continu $f^{*} = \mu/\sigma^2$ pour des rendements.
3. Prenez une fraction. Par défaut, $1/4$–$1/2$ du Kelly complet. Moins l'edge est robuste, plus le multiplicateur doit être petit.
4. Pour un portefeuille, calculez sous forme matricielle. $\mathbf{f}^{*} = \boldsymbol{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{\mu}$ avec rétrécissement de covariance, puis le même multiplicateur fractionnaire.
5. Fixez des plafonds durs. Maximum par position, levier maximal, une limite de drawdown — en plus de tout le reste.
6. Recalculez. À mesure que les estimations se mettent à jour, réduisez la fraction quand l'incertitude augmente et que l'edge se dégrade.

Code

import numpy as np

def kelly_binary(p, b):
    """p — win probability, b — net payout ratio per 1 unit of stake."""
    q = 1 - p
    return (b * p - q) / b          # = p - q/b

def kelly_continuous(mu, sigma):
    """mu, sigma — mean and standard deviation of period returns (in the same units)."""
    return mu / sigma ** 2

def kelly_portfolio(mu, cov, shrink=0.0):
    """Matrix Kelly for a portfolio of strategies.
    mu  — vector of expected returns;
    cov — covariance matrix of returns;
    shrink — shrinkage coefficient toward the diagonal (0..1) for stable inversion."""
    cov = np.asarray(cov, float)
    if shrink:
        cov = (1 - shrink) * cov + shrink * np.diag(np.diag(cov))
    return np.linalg.solve(cov, np.asarray(mu, float))

def sized(f_star, kelly_fraction=0.25, cap=0.2):
    """Fractional Kelly with a hard cap on the fraction."""
    return float(np.clip(f_star * kelly_fraction, -cap, cap))

f = kelly_binary(p=0.55, b=1.0)    # 0.10 — full Kelly
print(sized(f))                    # 0.025 — quarter Kelly, a safe size

Erreurs courantes

• Kelly sur un edge in-sample. L'erreur la plus coûteuse. Un edge surestimé → sur-mise → croissance négative.
• Ignorer les corrélations entre stratégies. La somme des Kelly individuels n'est pas le Kelly du portefeuille.
• Kelly complet en production. Le maximum mathématique de croissance, mais 50% de chances d'un drawdown à la moitié du compte. Ne convient à presque personne.
• Kelly avec un edge instable. Si l'edge se dégrade, la formule surestime systématiquement la mise.
• Confondre les objectifs. Kelly maximise la croissance géométrique du capital — pas le Sharpe, pas la probabilité de rester dans le vert, et pas le confort. Si une courbe lisse compte plus pour vous, misez délibérément un Kelly fractionnaire.

En résumé

Le critère de Kelly répond à la question centrale de toute stratégie — combien miser — avec une formule qui maximise la croissance géométrique à long terme : $f^{*} = p - q/b$ pour les paris et $f^{*} = \mu/\sigma^2$ pour les rendements, et pour un portefeuille — $\mathbf{f}^{*} = \boldsymbol{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{\mu}$.

Mais le Kelly complet est l'optimum mathématique pour la croissance, pas pour la survie. Le Kelly fractionnaire ($1/4$–$1/2$) capture l'essentiel de la croissance avec une volatilité et des drawdowns plusieurs fois moindres. Ainsi, la réponse pratique à la question du choix du Kelly pour les stratégies est la suivante : calculez le Kelly complet honnêtement — mais misez-en une fraction, en plus de limites de risque strictes.

Contenu associé :

• L'asymétrie des pertes et des gains : les mathématiques qui tuent votre compte
• La nature multiplicative des rendements
• Comment les taux de financement tuent le levier
• Orchestrer une cascade de stratégies