Средняя доходность сохранилась, риск исчез: ловушка сокращенных сценариев

Вы ускорили портфельный расчет: вместо сотен возможных продолжений рынка оставили несколько самых вероятных. Средний капитал в конце периода почти не изменился. Расчет комиссий работает, веса укладываются в ограничения, результат выглядит устойчивым. Но именно при таком ускорении из модели могли исчезнуть события, ради которых вообще считался риск.

Проверить это сравнением средней доходности нельзя. Даже совпадение одного плохого квантиля не гарантирует, что сохранились потери за его пределами или просадки внутри периода. Ниже — контрпример, в котором средний капитал и пятый процентиль совпадают точно, а оценка Expected Shortfall уменьшается почти в девять раз.

Это отдельная проблема от выбора алгоритма распределения капитала и настройки CVaR-ограничения поверх портфеля. Здесь мы проверяем входное распределение: какие будущие состояния оптимизатору разрешили увидеть и какие незаметно исключили.

Как незаметно меняется распределение

Повод для проверки — препринт Ramachandran, Iyer и Jain от 30 сентября 2026 года. В модели облигаций авторы сокращают набор следующих состояний марковской цепи. В разделе 3 сетка 20 базисных пунктов с десятью продолжениями сохраняет примерно треть вероятностной массы и примерно вдвое уменьшает условное стандартное отклонение доходностей облигаций к погашению. Сетка 40 пунктов с 25 продолжениями сохраняет около 92% массы. Это диагностика конкретной аппроксимации, а не рекомендуемые настройки любого портфеля. Препринт, версия 1, раздел 3.

Разберем механизм независимо от облигационной модели. Пусть исходные вероятности продолжений равны $p_j$, а выбранный набор состояний — $A$. Его сохраненная масса:

$m=\sum_{j\in A}p_j.$

После удаления остальных состояний вероятности обычно нормируют: $q_j=p_j/m$ для оставшихся вариантов. Сумма снова равна единице. Но полученное распределение описывает рынок при условии попадания в выбранный набор. Само условие исчезает из интерфейса, хотя именно оно изменило задачу.

Обозначим удаленную массу через $\varepsilon=1-m$. Для конечного капитала $W$:

$\mathbb{E}_p[W]=(1-\varepsilon)\mathbb{E}[W\mid A]+\varepsilon\mathbb{E}[W\mid A^c].$

Если средние в сохраненной и удаленной частях совпадают, сокращение совершенно не меняет средний результат. При этом внутри удаленной части могут одновременно находиться большой выигрыш и большой убыток. Они компенсируют друг друга в среднем, но не в расчете потерь.

Поэтому отчет "сохранили 94% вероятности" еще не отвечает на вопрос о риске худших 5% исходов. Нужно знать, какие 6% исчезли. И мелкая сетка сама по себе не спасает: если вычислительный бюджет ограничивает число продолжений, более подробная разбивка может привести к удалению большей массы. Проверять следует сочетание параметров, а не каждый отдельно.

Контрпример с точными вероятностями

Возьмем пять заранее заданных траекторий капитала. Начальный капитал — 100 USD, затем наблюдаем два момента времени. Вероятности придуманы специально для демонстрации; это не рыночная оценка, не бэктест и не воспроизведение результатов препринта.

Ускоренная модель оставляет две наиболее вероятные траектории. Их общая масса — 94%; после нормировки каждая получает вероятность 50%. Полная модель имеет средний конечный капитал 100 USD. У сокращенной модели он тоже равен 100 USD: симметричные крайние исходы и восстановившаяся траектория не меняли среднее.

Определим конечный относительный убыток как $L=1-W_T/W_0$. Положительное значение означает потерю капитала. VaR на уровне 95% — наименьший убыток, при котором накопленная вероятность достигает 95%. ES на том же уровне — средний убыток в ровно 5% худшей вероятностной массы.

Последнее уточнение необходимо для дискретных сценариев. Нельзя просто выбрать все строки с убытком не меньше VaR и усреднить: масса выбранных строк может значительно превышать 5%. Граничный сценарий нужно включать частично. Именно дискретные распределения и массу на границе разбирает классическая работа Rockafellar и Uryasev, раздел 2.

В полной модели худший 1% дает убыток 40%, а следующие 4% вероятности берутся из сценария с убытком 1%. Поэтому:

$ES_{0.95}=\frac{0.01\times0.40+0.04\times0.01}{0.05}=0.088.$

Усреднять максимальную просадку нужно иначе: сначала найти ее на каждой траектории относительно текущего исторического пика, затем взвесить по вероятностям. Путь 100 → 70 → 100 не дает конечного убытка, но вносит вклад в просадку. Это еще одна причина не ограничиваться распределением конечного капитала.

Скачайте пример на Python. Он использует только стандартную библиотеку, считает через Fraction и проверяет результаты точными равенствами. Случайной выборки и погрешности Монте-Карло здесь нет.

python3 portfolio-scenario-truncation-tail-risk.py

Synthetic exact-probability example; initial wealth = 100 USD
Retained probability mass: 94.00%
law       mean_USD q05_USD VaR95_loss ES95_loss mean_MDD P(MDD>=20%)
full        100.00   99.00      1.00%     8.80%    2.07%       5.00%
truncated   100.00   99.00      1.00%     1.00%    0.50%       0.00%
Exact arithmetic assertions: PASS

Совпали среднее, пятый процентиль капитала и VaR. Но ES уменьшился с 8.80% до 1.00%, средняя максимальная просадка — с 2.07% до 0.50%. Вероятность просадки не менее 20% стала нулевой только потому, что все соответствующие пути удалили. Скрипт не оптимизирует веса и не моделирует комиссии: он изолирует ошибку распределения до добавления этих сложностей.

Комиссии не восстанавливают потерянный хвост

Ребалансировщик с учетом расходов может корректно решать неправильную задачу. Он видит только сохраненные продолжения, оценивает будущую выгоду сделки и сравнивает ее с комиссией. Если тяжелого сценария во входе нет, безошибочный учет издержек не возвращает его в расчет.

Для проверки расходов удобно сначала зафиксировать простой пример. Продажа актива на 10 000 USD и покупка другого на 10 000 USD дают 20 000 USD суммарного торгового оборота. При комиссии 10 базисных пунктов за каждую сторону расходы составят 20 USD. Предположим, что отдельный денежный резерв покрывает комиссию, чтобы не смешивать проверку тарифа с расчетом доступного остатка.

Если отчет называет оборотом только проданную сумму, он покажет 10 000 USD. Обе договоренности допустимы, но тариф должен соответствовать выбранному знаменателю. Смешение одностороннего оборота с двусторонней комиссией дает ошибку еще до моделирования рынка. Аналогично, изменение весов нужно считать от фактических долей перед сделкой: после движения цен они уже отличаются от прошлых целевых весов.

Затем расходы следует включить в саму траекторию капитала. Вычитать их только из конечной доходности недостаточно для проверки промежуточных лимитов: в момент оплаты уменьшается доступный капитал. Для исполнителя заявок отдельно проверяют денежный резерв, округление количества и последовательность операций. Это продолжает тему автоматической ребалансировки ETF, но не заменяет проверку сценариев.

Наконец, сравнивают несколько уровней расходов двумя способами: сначала у неизменной политики, затем после повторной оптимизации. Первая проверка измеряет чувствительность уже принятого решения. Вторая показывает, как меняется само решение. Иначе снижение оборота после роста тарифа легко принять за доказательство устойчивости исходного алгоритма.

Проверка политики за пределами сокращенного дерева

Практический протокол должен разделять две ошибки. Первая — как сокращение меняет оценку риска фиксированной политики. Вторая — как оно меняет выбранную политику и ее результат. Одновременное изменение обоих элементов не позволяет понять причину расхождения.

Сначала зафиксируйте веса или правило ребалансировки и прогоните его по сокращенному и более полному распределениям. Сравните среднее, плохие квантили, ES, распределение максимальной просадки и нарушения конкретных лимитов. Для условной модели сделайте такую проверку также по отдельным состояниям: благополучное среднее по всем датам может скрыть ошибку именно перед кризисным переходом.

Далее обучите или оптимизируйте две политики на разных приближениях, но оцените обе на одном независимом наборе более подробных путей. Если меняете несколько параметров, сохраняйте одинаковые рыночные реализации для сравниваемых политик. Это позволяет анализировать разность результатов на каждом пути, а не сравнивать два шумных средних. Политику на этапе оценки уже не подстраивают под увиденное будущее.

Для непрерывного состояния нужно заранее определить, что делать, если оценочный путь вышел за сетку. Ближайший узел, интерполяция или резервное правило — разные политики. Записывайте частоту таких обращений и их вклад в потери. Молчаливое исключение неудобных путей повторяет исходную ошибку сокращения.

Близкую идею проверки решений на исходных сценариях используют Zhuang и соавторы в работе от 17 октября 2025 года о сокращении сценариев с CVaR. Их задача относится к виртуальной электростанции; это не исследование доходности портфелей. Полезен сам принцип оценки: качество сокращения проверяется через последствия выбранного решения, а не только сходство входных данных. Разделы II-B и II-G.

Более полный симулятор при этом остается моделью. Новая случайная выборка из того же ошибочного генератора не подтверждает пригодность для рынка. Bootstrap и интервалы результатов помогают оценить неопределенность доступных данных, но не восстанавливают события, которые были исключены из самой модели.

Что считать приемлемым приближением

Универсального достаточного числа сценариев нет. Критерий приемки следует задавать через решение и лимиты, которые предстоит защищать. Для портфеля без плеча и для стратегии с жестким порогом ликвидации одна и та же ошибка распределения имеет разные последствия.

Допуски стоит установить до просмотра результатов. Например, если решение зависит от ограничения ES, недостаточно подтвердить малую ошибку среднего капитала: нужно проверить, меняет ли ошибка ES допустимость портфеля. Погрешность оценки хвоста также должна быть видна. При малом количестве независимых экстремальных наблюдений дополнительные десятичные знаки не добавляют уверенности.

Редкие стрессовые пути полезно хранить отдельно от вероятностного прогноза, когда их вероятность неизвестна. Они отвечают на вопрос "выдержит ли политика такой путь", но сами по себе не дают оценку ES. Назначить им удобные веса, а затем назвать результат калиброванным риском — значит заменить одну скрытую условность другой.

Облигационный препринт проверяет симулированные бескупонные облигации, пропорциональные расходы и цель максимизации ожидаемого конечного капитала; авторы отмечают отсутствие проверки на реализованной рыночной истории. Это ограничивает перенос результата. Ограничения, раздел 5. Применение изложенного протокола к криптоактивам — наш инженерный вывод, а не измеренный в этой работе эффект.

В синтетическом примере доказано узкое утверждение: сокращенное распределение может идеально пройти проверку среднего и VaR, сохранив ошибочную картину хвостовых потерь и просадок. Перед использованием сценариев в ребалансировке проверять нужно именно те пути и метрики, которые способны изменить решение о допустимом риске.