Генерация поверхности волатильности: где заканчивается правдоподобие

Гладкая поверхность подразумеваемой волатильности может соответствовать противоречивым ценам опционов. Поверхность, прошедшая проверку цен, может давать плохие сценарии завтрашнего рынка. А хорошие сценарии еще нужно превратить в хедж, полезный после издержек. Это три разных основания для отказа модели.

В семействе GARCH мы прогнозируем условную дисперсию доходностей. В разборе PINN и модели Heston решаем задачу оценки при заданной динамике. Здесь вопрос другой: какие проверки должен пройти генератор целой опционной поверхности перед использованием в оценке портфеля и хеджировании?

Ниже разделены результаты трех препринтов августа и сентября 2026 года, собственный воспроизводимый контрпример и предлагаемый протокол допуска. Модели из статей здесь не переобучались; биржевых экспериментов не проводилось.

Штраф за арбитраж не равен гарантии

Работа Latent Flow Matching for Arbitrage-Aware Implied Volatility Surface Generation впервые подана 1 августа; рассматриваемая версия v2 датирована 4 августа 2026 года. Она генерирует отдельные поверхности без условия на текущую историю. Автоэнкодер получает штрафы за нарушения финансовых ограничений, а flow matching моделирует распределение скрытых представлений. В основном эксперименте вес описанного авторами штрафа за call spread равен нулю: дополнительный штраф не улучшил результат на их данных. Версия и история подачи, разделы 2.2 и 3.6.1.

Обучающая выборка содержит 1000 предварительно обработанных поверхностей SPX за 2020–2023 годы на сетке из 32 значений денежности и 16 сроков. Это определяет область применимости результата; речь не идет о произвольном опционном рынке. Раздел 3.1.

Авторы сообщают, что 90,8% сгенерированных поверхностей проходят все три проверяемых ограничения на сетке. Это результат пяти запусков с 5000 поверхностями в каждом. Усиление штрафов до режима с 99,9% прошедших поверхностей ухудшает сходство с распределением данных, особенно в верхнем хвосте. Следовательно, высокая доля прохождения сама по себе не выбирает лучший генератор риска. Разделы 3.5.4 и 3.6.2, таблицы 5 и 7.

Более свежая работа Universal Diffusion Models for Implied Volatility Surfaces, v2 от 25 сентября добавляет важную проверку: среди сравниваемых генераторов минимальные тестовые нарушения получил вариант с обычным MSE, а не со специальным арбитражным штрафом. Эксперимент на наборе акций использует одну инициализацию генератора случайных чисел; авторы предлагают отдельно исследовать взаимодействие штрафов и обучения на нескольких запусках. Это аргумент в пользу абляции, а не против ограничений вообще. Разделы 3.4, 4.1 и 5.

Мой практический вывод: отчет должен сохранять одновременно частоту отказов, величину нарушений и изменение распределения после исправления. Удалив все сложные поверхности, легко получить аккуратную выборку, которая перестала представлять стресс. Если применяется проекция на допустимое множество, нужно сравнивать исходные и исправленные сценарии, включая изменение стоимости конкретного портфеля. Если применяется отбраковка, нужно показывать, какие режимы она удаляет.

Штраф оптимизирует среднее поведение обучаемой функции. Он не доказывает ограничение для любого скрытого вектора, страйка и срока. Более того, проверка одного набора узлов ничего автоматически не говорит об интерполяции между ними. Авторы прямо ограничивают выводы фиксированной сеткой и не заявляют гарантию для каждого образца. Раздел 4.

Проверять цены, границы и полную дисперсию

Для прозрачности начнем с европейских коллов, нулевых ставок и дивидендов, одного базового актива и общего способа расчета выплаты. Пусть текущая цена актива равна $S$, а $C_i$ — цена колла со страйком $K_i$ и фиксированной экспирацией. Необходимые проверки включают:

Первая проверка ограничивает цену отдельного контракта. Вторая ограничивает стоимость вертикального спреда. Последняя проверяет выпуклость: наклон не должен становиться более отрицательным при увеличении страйка. Деление на фактический шаг обязательно для неравномерной сетки. Такие ограничения для конечного набора цен и их связь с исполнимыми спредами рассматривают Gerhold и Gülüm, теорема 3.1.

Это необходимые локальные проверки, а не полная сертификация поверхности. Нужны согласованные граничные значения, календарные ограничения и контроль продолжения за пределы сетки. Например, при наших предположениях $C(0,T)=S$, а $C(K,T)$ стремится к нулю при неограниченном росте страйка. Гладкость картинки не устанавливает эти свойства.

При ненулевых ставках и дивидендах сначала согласуют дисконтирование, форварды и единицы цены. Для календарной проверки в стандартной постановке с пропорциональными дивидендами используют фиксированную форвардную логарифмическую денежность $k=\log(K/F_T)$ и полную дисперсию:

Условие относится к полной дисперсии, а не к самой годовой волатильности. Предположения и доказательство сформулированы у Gatheral и Jacquier, лемма 2.1. Нельзя без преобразований переносить проверку роста сырых цен коллов по сроку на любой дивидендный или процентный режим.

Собственный контрпример: две плоские по страйку улыбки имеют волатильность 40% при сроке 0,25 года и 25% при сроке один год. Полная дисперсия растет с 0,0400 до 0,0625. Убывающая годовая волатильность здесь совместима с календарным ограничением. Между сроками можно интерполировать возрастающую полную дисперсию.

Это существенно для августовской работы: ее календарный штраф наказывает именно снижение волатильности, то есть накладывает более сильное ограничение, чем необходимо. Авторы это оговаривают. Если модель сглаживает допустимую убывающую структуру сроков, улучшение штрафа может означать потерю полезного сценария. Раздел 2.2.2.

В рабочем валидаторе проверки нужно повторять после восстановления масштаба, интерполяции и экстраполяции. Особенно чувствительна выпуклость: малая ошибка уровня цены может стать большой ошибкой второй разности. Допуск следует задавать в единицах цен и спредов, а также отдельно учитывать численную погрешность.

Нарушение на средней цене может исчезнуть в стакане

Возьмем полностью синтетический срез при $S=100$ и сроке полгода. Мультипликатор контракта равен единице. Все цены ниже выражены в одинаковых денежных единицах.

Каждая средняя цена находится внутри индивидуальных границ и имеет конечную положительную подразумеваемую волатильность: примерно 21,11%, 31,97% и 30,95%. Цены убывают со страйком. Однако соседние наклоны равны −0,3 и −0,4: выпуклость нарушена.

Портфель из одного колла 90, двух коротких коллов 100 и одного колла 110 имеет неотрицательную выплату при любой цене актива на экспирации. Покупка такого butterfly по средним ценам дает отрицательную стоимость:

Если бы эти цены были одновременно доступны для покупки и продажи, трейдер получил бы единицу при открытии и неотрицательную терминальную выплату. Но купить нужно по ask, а продать — по bid:

На приведенных котировках этот арбитраж исчезает. Положительная стоимость одного butterfly еще не доказывает согласованность всей цепочки. Поэтому пример проверяет больше: внутри спредов существует набор цен 12,50; 8,50; 5,00, получаемый как ожидаемые выплаты при явно заданном неотрицательном распределении актива со средним 100. Скрипт проверяет это распределение точными дробями. Для указанного набора контрактов это свидетельство существования согласованной модели, а не просто отсутствие найденной сделки.

Теперь сохраним средние цены, но сузим половину спреда до 0,10 у всех трех опционов. Стоимость исполнимого butterfly станет −0,60. При комиссии 0,05 за каждый из четырех контрактов она останется отрицательной: −0,40. В этой идеализированной постановке остается начальное поступление 0,40 и неотрицательная выплата. Требуются доступный объем на всех ногах, одновременное исполнение, одинаковая экспирация и расчетная цена; финансирование обеспечения и другие платежи здесь отсутствуют.

Скачать воспроизводимый Python-пример. Нужна только стандартная библиотека:

python3 generated-volatility-surfaces-static-arbitrage.py

Он также проверяет отдельное нарушение монотонности, календарный контрпример и обращение формулы Black–Scholes. Последнее лишь переводит цену в координату волатильности: положительная IV отдельного опциона не сертифицирует совместимость всей цепочки. Синтетические числа не являются измерением частоты рыночного арбитража.

Корректный снимок еще не задает корректную динамику

У поверхности две разные временные оси: срок до экспирации внутри сегодняшнего снимка и дата наблюдения самого снимка. Календарное ограничение по первой оси не проверяет совместную эволюцию рынка по второй.

В Diffusion models for dynamic volatility surface generation and data-driven hedging модель AD-Seq-Vol совместно генерирует доходность базового актива и следующую поверхность, обновляя историю вдоль траектории. Вариант FT дообучается со штрафами за статические нарушения. Первая версия подана 11 сентября, рассматриваемая v3 — 17 сентября 2026 года. Авторы сообщают почти нулевые статические нарушения после дообучения, но в заключении отдельно оставляют динамические безарбитражные ограничения будущей работе. История версий, разделы 2.2 и 5.

Адаптированность означает, что следующий шаг использует уже доступную историю. Она не устанавливает существование согласованной меры ценообразования для выбранной совместной динамики. Нельзя получить такую гарантию простым соединением допустимых снимков.

При этом исторический генератор сценариев не обязан делать среднюю доходность актива равной безрисковой ставке. Он может моделировать физическое распределение будущего рынка с премиями за риск. Риск-нейтральная согласованность цен и качество прогноза физического распределения — разные требования. Проверять мартингальное свойство прямо под историческим распределением без определения меры было бы ошибкой.

Для сценарного использования я предлагаю проверять совместные изменения цены актива, уровня IV и наклона улыбки, условные хвосты после стрессовых дней и накопление ошибок на нескольких шагах. Дополнительно нужно отслеживать тот же контракт: его страйк фиксирован, а остаточный срок уменьшается. Постоянная ячейка денежности на движущейся поверхности обычно обозначает уже другой страйк. Подмена контрактов способна испортить хедж даже при идеальной геометрии каждого снимка.

Хеджирование требует отдельного допуска

Сентябрьская работа проверяет хеджирование отдельно: обучение использует SPX до июня 2018 года, оценка — период с июля 2018-го по февраль 2023-го. Условные сценарии используются для однопериодного выбора хеджа; целевая функция содержит штраф за изменение позиций с коэффициентом из половины bid–ask спреда. Это существенно более содержательная проверка, чем сходство изображений поверхностей. Разделы 3 и 4.

Однако отчетная ошибка в разделе 3 равна изменению цели за вычетом оцененного свободного члена регрессии и изменения стоимости хеджа. Платежи за исполнение отдельно в эту формулу не вычитаются. Наличие штрафа за оборот в оптимизации не превращает такую метрику в чистый результат самофинансируемого торгового счета. При воспроизведении нужно вести денежный счет, финансирование, реальные изменения позиций и платежи явно. Определение ошибки после уравнения 12.

Почему одинаково правдоподобные генераторы дают разные хеджи? В простейшем случае без издержек и с одним инструментом коэффициент минимальной дисперсии определяется отношением:

Правильные маргинальные распределения IV не определяют эту условную ковариацию. Генератор может воспроизводить уровни волатильности и ошибаться именно в совместных движениях, нужных для хеджирования.

Предлагаемый допуск состоит из четырех отдельных результатов:

1. Ценовая допустимость: частота и размер статических нарушений на узлах, между ними и в используемых хвостах; результаты до и после исправления.
2. Качество сценариев: временная проверка условных распределений и совместных движений, включая кризисные отрезки; сравнение с сохранением текущей поверхности и простой факторной моделью.
3. Качество решения: одинаковые доступные инструменты и ограничения для всех хеджей, сравнение с delta и delta–vega, ошибка и хвостовой убыток на последующих реальных наблюдениях.
4. Исполнимость: оборот, spread, комиссии, финансирование, доступная ликвидность и чистый денежный результат при одинаковом бюджете расчета.

Порог для каждого результата задают до выбора лучшего генератора. Прохождение статических проверок разрешает следующий этап оценки; полезность хеджа устанавливает только отдельная проверка решений. Ни название архитектуры, ни гладкая поверхность не заменяют этот переход.