The Other Way a Regression Lies: Endogeneity, 2SLS, and the Gamma Calibration Problem

Existem duas maneiras estruturalmente diferentes pelas quais uma regressão pode mentir para você, e este blog até agora atacou apenas uma delas.

O primeiro é o viés de seleção na pesquisa: você executou dez mil backtests, manteve o melhor, e o número que você está vendo é o máximo de uma distribuição de ruído, e não de um efeito. Esse é o assunto do índice de Sharpe deflacionado e seu ápice negativo honesto. A solução é definir o preço da pesquisa.

O segundo é o viés no coeficiente em si, em uma única regressão que você nunca pesquisou. Se o regressor estiver correlacionado com o termo de erro, o MQO é tendencioso e inconsistente — e, ao contrário do ruído de amostragem, este não diminui com o tamanho da amostra. Mais dados tornam o número errado mais restrito. Nenhuma quantidade de esforço inicial, avanço ou deflação afeta isso, porque nenhum desses métodos questiona a identificação, apenas a seleção.

Este artigo é sobre a segunda falha e não é uma preocupação abstrata aqui. O artigo de calibração Almgren-Chriss se ajusta ao impacto permanente $\gamma$ ao regredir as mudanças de preço médio de 5 minutos no fluxo do tomador líquido, obtém-se um $R^2$ de alguns por cento e um coeficiente que se move 2-5x entre os dias, e nomeia a endogeneidade como a primeira razão estrutural: "O fluxo responde ao preço tanto quanto o preço responde ao fluxo. Os traders de momentum compram porque o preço subiu; um MQO ingénuo de retornos sobre o fluxo capta a sua reação e atribui-a ao impacto." Ele também nomeia a solução limpa – seus próprios preenchimentos, exógenos por construção.

Esse é um problema de variáveis ​​instrumentais com um instrumento nomeado e dados já internos. Abaixo está o estimador, o diagnóstico e o experimento.

Endogeneidade em um parágrafo

OLS estima o causal $\beta_1$ em $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i$ apenas sob $\mathbb{E}[\varepsilon_i \mid X_i] = 0$. Três coisas quebram isso. Viés de variável omitida: se $W$ dirige ambos $X$ e $Y$ e não é observado, vive no erro, $\varepsilon_i = \gamma W_i + u_i$, e $\text{Cov}(X_i, W_i) \neq 0$ forças $\text{Cov}(X_i, \varepsilon_i) \neq 0$ — na microestrutura, a chegada de informações não observadas une volume e volatilidade. Erro de medição: com um proxy barulhento $X_i = X_i^* + \nu_i$, $\text{plim } \hat{\beta}_1^{\text{OLS}} = \beta_1 \cdot \sigma_{X^*}^2 / (\sigma_{X^*}^2 + \sigma_\nu^2)$, sempre atenuado em direção a zero – o fluxo líquido de aggTrades é um proxy para o verdadeiro fluxo de ordens assinadas em um mercado fragmentado, e a parte que você nunca vê é o erro de medição. Simultaneidade: já afirmado de forma mais nítida e concreta na calibração de impacto Almgren-Chriss, que é o problema motivador para tudo abaixo.

A solução intravenosa

Um instrumento $Z$ deve satisfazer duas condições:

1. Relevância: $\text{Cov}(Z_i, X_i) \neq 0$. Testável e você deve testá-lo.
2. Exclusão: $\text{Cov}(Z_i, \varepsilon_i) = 0$ — $Z$ afeta $Y$ somente através $X$. Não testável. Sempre. É um argumento económico, não uma estatística.

Para um instrumento e um regressor endógeno, o estimador é uma razão de dois efeitos de forma reduzida (o estimador de Wald):

$$\hat{\beta}_1^{\text{IV}} = \frac{\text{Cov}(Z_i, Y_i)}{\text{Cov}(Z_i, X_i)} = \frac{\hat{\pi}_{\text{reduced form}}}{\hat{\pi}_{\text{first stage}}}$$

Com controles e vários instrumentos você usa 2SLS. Etapa 1: regressão da variável endógena em instrumentos e controles, $X_i = \pi_0 + \boldsymbol{\pi}_Z' \mathbf{Z}_i + \boldsymbol{\pi}_C' \mathbf{C}_i + v_i$, e mantenha os valores ajustados $\hat{X}_i$ - por construção, eles contêm apenas variações exógenas e orientadas por instrumentos. Etapa 2: execução $Y_i = \beta_0 + \beta_1 \hat{X}_i + \boldsymbol{\beta}_C' \mathbf{C}_i + \varepsilon_i$. Em forma de matriz, com $\mathbf{P}_Z = \mathbf{Z}(\mathbf{Z}'\mathbf{Z})^{-1}\mathbf{Z}'$:

$$\hat{\boldsymbol{\beta}}_{2\text{SLS}} = \left(\mathbf{X}' \mathbf{P}_Z \mathbf{X}\right)^{-1} \mathbf{X}' \mathbf{P}_Z \mathbf{y}, \qquad \text{Var}(\hat{\boldsymbol{\beta}}_{2\text{SLS}}) = \hat{\sigma}^2 \left(\mathbf{X}' \mathbf{P}_Z \mathbf{X}\right)^{-1}.$$

A armadilha que pega todos que rolam isso manualmente: se você literalmente executar dois lstsq chamadas, seus erros padrão do estágio 2 estão errados. $\hat{X}_i$ é um regressor gerado, e a variância residual deve ser calculada a partir do original $X$, não o equipado. Erros padrão ingênuos de duas etapas são muito pequenos, então seu $t$-stats são muito grandes e você rejeitará demais. Use uma implementação IV real:

from linearmodels.iv import IV2SLS
import pandas as pd

def iv_regression(df, dep_var, endog_var, instruments, controls=None):
    """2SLS with correct generated-regressor standard errors."""
    y = df[dep_var]
    endog = df[[endog_var]]
    instr = df[instruments]

    const = pd.Series(1, index=df.index, name="const")
    exog = pd.concat([const, df[controls]], axis=1) if controls else const

    res = IV2SLS(dependent=y, exog=exog, endog=endog,
                 instruments=instr).fit(cov_type="robust")
    print(res.summary)
    return res

O experimento: gama OLS versus gama 2SLS

A regressão em teste é o ajuste de impacto permanente do artigo Almgren-Chriss:

$$\Delta S_{5m} = \gamma\, Q_{\text{net}} + \text{noise}, \qquad Q_{\text{net}} = \text{taker buys} - \text{taker sells}.$$

$Q_{\text{net}}$ é endógeno pelo argumento da simultaneidade acima. O instrumento são seus próprios preenchimentos na janela: os preenchimentos do fabricante são acionados por seu próprio cronograma de cotação e política de estoque, e não pela trajetória de preço do mercado, portanto, são uma fonte de variação no fluxo de pedidos que é plausivelmente não correlacionada com o componente de reação ao momento do erro. A restrição de exclusão – que seus preenchimentos se movam no meio apenas através de sua contribuição para o fluxo líquido – é a suposição a ser discutida, e é mais fraca exatamente quando sua cotação é ela mesma orientada por sinais. Se suas cotações dependerem da previsão de preços no horizonte curto, o instrumento estará contaminado e esse design falhará. Os preenchimentos de uma política pura de gerenciamento de estoque ou de captura de spread são o caso limpo.

Os dados de preenchimento vêm do registro TCA descrito em déficit de implementação e TCA DIY — o mesmo registro que fornece a amostra adequada para curvas de deslizamento de seus próprios preenchimentos. Controles: atrasados $\Delta S$ e percebi volatilidade na janela.

# per 5-min bin over the sample:
#   dS        mid-price change             (outcome)
#   q_net     signed net taker flow        (endogenous)
#   q_own     signed own-fill quantity     (instrument)
#   dS_lag, rv  controls
ols  = IV2SLS(dependent=df.dS, exog=df[["const", "dS_lag", "rv"]],
              endog=None, instruments=None).fit(cov_type="robust")
tsls = iv_regression(df, "dS", "q_net", ["q_own"], ["dS_lag", "rv"])

Quatro números decidem se valeu a pena fazer isso: o OLS $\gamma$, o 2SLS $\gamma$, a primeira fase $F$, e a diferença entre os dois coeficientes — que é a parcela da estimativa MQO que foi reação dinâmica e não impacto.

Se a primeira fase $F$ volta abaixo de 10, esse é o resultado: os próprios preenchimentos são uma fração muito pequena do fluxo líquido na resolução de 5 minutos para identificar $\gamma$, e o artigo honesto é um negativo no estilo do negativo honesto. Um instrumento fraco negativo é uma descoberta real - indica que a endogeneidade no ajuste gama não pode ser corrigida neste tamanho e horizonte de amostra, e que as estimativas de custos pré-negociação baseadas no OLS $\gamma$ carregam uma tendência ascendente irremovível.

Diagnóstico

Primeiro estágio F (instrumentos fracos). Regra prática de Staiger-Stock: $F > 10$. Os valores críticos de Stock-Yogo para um regressor endógeno são mais rigorosos - para tamanho IV máximo de 10%, $F > 16.38$ com um instrumento, 19,93 com dois, 22,30 com três; para tamanho de 15%, 8,96/11,59/12,83; para 20%, 6,66/8,75/9,54.

$$F = \frac{(R_{\text{unrestricted}}^2 - R_{\text{restricted}}^2) / q}{(1 - R_{\text{unrestricted}}^2) / (n - k)}$$

Durbin-Wu-Hausman (é mesmo necessário IV). Se o OLS for consistente, também será mais eficiente, portanto, teste antes de mudar. A forma de aumento residual é a mais prática: execute o estágio 1, mantenha $\hat{v}_i = X_i - \hat{X}_i$, em seguida, execute a regressão estrutural OLS com $\hat{v}_i$ adicionado como regressor. Um coeficiente significativo em $\hat{v}_i$ é evidência de endogeneidade.

def durbin_wu_hausman(df, dep, endog, instruments, controls):
    """Augmented-regression form of the DWH endogeneity test."""
    import statsmodels.api as sm
    X1 = sm.add_constant(df[instruments + controls])
    v_hat = df[endog] - sm.OLS(df[endog], X1).fit().fittedvalues
    X2 = sm.add_constant(df[[endog] + controls].assign(v_hat=v_hat))
    res = sm.OLS(df[dep], X2).fit(cov_type="HC1")
    return res.tvalues["v_hat"], res.pvalues["v_hat"]

Sargan-Hansen (sobreidentificação). Com $q > p$ instrumentos que você pode testar a validade conjunta: $J = n \cdot R^2_{\hat{\varepsilon} \sim \mathbf{Z}} \sim \chi^2(q - p)$, onde o $R^2$ vem da regressão dos resíduos 2SLS em todos os instrumentos e controles exógenos. A advertência é mais importante do que a estatística: Sargan só detecta instrumentos que são inválidos de maneiras diferentes. Se todos os instrumentos estiverem correlacionados com a mesma variável omitida, o teste passa de forma limpa e não diz nada.

Instrumentos que existem na microestrutura criptográfica

Encontrar um instrumento válido é toda a dificuldade, e os recursos de capital próprio-financiamento empresarial (cobertura de analistas, benefícios fiscais, fluxo de caixa inesperado) são inertes aqui. Na verdade, duas classes se aplicam:

Armadilhas

Instrumentos fracos não falham ruidosamente. Com um primeiro estágio fraco, o 2SLS é tendencioso em direção ao OLS em amostras finitas, aproximadamente

$$\frac{\text{Bias}_{2\text{SLS}}}{\text{Bias}_{\text{OLS}}} \approx \frac{1}{F - 1}.$$

No $F = 5$ você retém 25% do viés do MQO ao relatar uma estimativa "causal". As soluções são LIML, que apresenta melhor comportamento em amostras finitas, ou o teste Anderson-Rubin, que é válido independentemente da resistência do instrumento.

Viés de muitos instrumentos. $\text{Bias}_{2\text{SLS}} \approx (q/n) \cdot \text{Bias}_{\text{OLS}}$. Jogando atrasos de tudo em $\mathbf{Z}$ para impulsionar a primeira fase $F$ encaminha a estimativa diretamente para o OLS. Se $q/n$ não for desprezível, use LIML, jackknife IV (JIVE) ou um primeiro estágio regularizado.

A restrição de exclusão não pode ser testada. Nem por Sargan, nem por nada. É defendida com raciocínio de domínio, e a forma honesta dessa defesa é uma análise de sensibilidade: qual a dimensão da violação necessária para anular a conclusão?

Conclusões

• A deflação corrige o viés da pesquisa. Não faz nada pelo preconceito no coeficiente. São falhas diferentes e precisam de ferramentas diferentes.
• O viés de endogeneidade não desaparece com o tamanho da amostra. Um coeficiente rígido, bem estruturado e validado passo a passo ainda pode estar sistematicamente errado.
• A regressão gama na calibração Almgren-Chriss é uma instância interna ao vivo, com um instrumento nomeado (preenchimentos próprios) e os dados já registrados pelo pipeline do TCA.
• Relatar a primeira fase $F$ antes do coeficiente 2SLS. Abaixo de 10, o coeficiente não é evidência, e dizê-lo é o resultado publicável.