The Other Way a Regression Lies: Endogeneity, 2SLS, and the Gamma Calibration Problem

回歸有兩種結構上不同的欺騙方式，而這個部落格至今只處理了其中一種。

第一種是搜尋中的選擇偏差：你執行了一萬次回測，保留表現最好的一次，而眼前的數字其實是雜訊分布的最大值，不是某種效應。這是折減 Sharpe 比率及其總結篇誠實的負結果所討論的主題。修正方法是為搜尋付出代價。

第二種是係數本身的偏差，出現在一個你根本沒有搜尋過的單一回歸中。如果回歸變數與誤差項相關，OLS 會產生偏差且不一致——這與抽樣噪聲不同，不會隨樣本量增加而縮小。更多資料只會讓這個錯誤數字變得更精確。再多的 bootstrap、滾動前向驗證或折減都碰不到它，因為這些方法質疑的都是選擇，而不是識別。

本文討論第二種失效，而且在這裡它不是抽象的顧慮。Almgren-Chriss 校準文章以 5 分鐘中間價變化對淨 taker 流量做回歸，擬合永久性衝擊 $\gamma$，得到幾個百分點的 $R^2$，以及日與日之間變動 2--5 倍的係數；文章把內生性列為首要的結構性原因：“流量對價格的反應，和價格對流量的反應一樣多。動量交易者是因為價格上漲才買入；對流量做收益的樸素 OLS 會捕捉他們的反應，並將其歸因於衝擊。”文章也指出了乾淨的修正方法——你自己的成交，因其構造而具有外生性。

這是一個具名工具變數、且資料已在內部的工具變數問題。下面介紹估計量、診斷方法與實驗。

一段話理解內生性

只有在 $\mathbb{E}[\varepsilon_i \mid X_i] = 0$ 的條件下，OLS 才能估計 $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i$ 中的因果 $\beta_1$。有三件事會破壞這個條件。遺漏變數偏差：如果 $W$ 同時驅動 $X$ 和 $Y$，且不可觀測，它就會進入誤差項，$\varepsilon_i = \gamma W_i + u_i$；而 $\text{Cov}(X_i, W_i) \neq 0$ 會迫使 $\text{Cov}(X_i, \varepsilon_i) \neq 0$——在微觀結構中，未觀測到的資訊抵達會同時驅動成交量與波動率。測量誤差：若使用帶噪聲的代理變數 $X_i = X_i^* + \nu_i$，則 $\text{plim } \hat{\beta}_1^{\text{OLS}} = \beta_1 \cdot \sigma_{X^*}^2 / (\sigma_{X^*}^2 + \sigma_\nu^2)$，估計值必然向零衰減——淨化後的 aggTrades 流量只是碎片化市場中真實帶方向訂單流的代理，而你永遠看不到的那部分就是測量誤差。同時性：在Almgren-Chriss 衝擊校準中已以更具體、更尖銳的形式說明，這正是下文一切內容的動機問題。

IV 解法

工具變數 $Z$ 必須滿足兩個條件：

1. 相關性：$\text{Cov}(Z_i, X_i) \neq 0$。可檢驗，而且你必須檢驗。
2. 排除限制：$\text{Cov}(Z_i, \varepsilon_i) = 0$——$Z$ 只能透過 $X$ 影響 $Y$。永遠不可檢驗。這是經濟學上的論證，不是統計量。

對一個工具變數和一個內生回歸變數而言，估計量是兩個簡約式效應的比值（Wald 估計量）：

$$\hat{\beta}_1^{\text{IV}} = \frac{\text{Cov}(Z_i, Y_i)}{\text{Cov}(Z_i, X_i)} = \frac{\hat{\pi}_{\text{reduced form}}}{\hat{\pi}_{\text{first stage}}}$$

有控制變數和多個工具變數時，使用 2SLS。第一階段：以工具變數和控制變數回歸內生變數，$X_i = \pi_0 + \boldsymbol{\pi}_Z' \mathbf{Z}_i + \boldsymbol{\pi}_C' \mathbf{C}_i + v_i$，並保留擬合值 $\hat{X}_i$——按照構造，它們只包含由工具變數驅動的外生變異。第二階段：執行 $Y_i = \beta_0 + \beta_1 \hat{X}_i + \boldsymbol{\beta}_C' \mathbf{C}_i + \varepsilon_i$。用矩陣表示，令 $\mathbf{P}_Z = \mathbf{Z}(\mathbf{Z}'\mathbf{Z})^{-1}\mathbf{Z}'$：

$$\hat{\boldsymbol{\beta}}_{2\text{SLS}} = \left(\mathbf{X}' \mathbf{P}_Z \mathbf{X}\right)^{-1} \mathbf{X}' \mathbf{P}_Z \mathbf{y}, \qquad \text{Var}(\hat{\boldsymbol{\beta}}_{2\text{SLS}}) = \hat{\sigma}^2 \left(\mathbf{X}' \mathbf{P}_Z \mathbf{X}\right)^{-1}.$$

所有手動實作這一步的人都會踩到的陷阱：如果你真的呼叫兩次 lstsq，第二階段的標準誤就會錯。$\hat{X}_i$ 是一個生成的回歸變數，殘差變異必須根據原始 $X$ 計算，而不是根據擬合值計算。樸素的兩步標準誤會太小，因此 $t$ 統計量會太大，導致過度拒絕。請使用真正的 IV 實作：

from linearmodels.iv import IV2SLS
import pandas as pd

def iv_regression(df, dep_var, endog_var, instruments, controls=None):
    """2SLS with correct generated-regressor standard errors."""
    y = df[dep_var]
    endog = df[[endog_var]]
    instr = df[instruments]

    const = pd.Series(1, index=df.index, name="const")
    exog = pd.concat([const, df[controls]], axis=1) if controls else const

    res = IV2SLS(dependent=y, exog=exog, endog=endog,
                 instruments=instr).fit(cov_type="robust")
    print(res.summary)
    return res

實驗：OLS Gamma 與 2SLS Gamma

待檢驗的回歸，是 Almgren-Chriss 文章中的永久性衝擊擬合：

$$\Delta S_{5m} = \gamma\, Q_{\text{net}} + \text{noise}, \qquad Q_{\text{net}} = \text{taker buys} - \text{taker sells}.$$

根據上面的同時性論證，$Q_{\text{net}}$ 是內生的。工具變數是該時間窗口內的你自己的成交：你的 maker 成交由自己的報價排程和庫存政策觸發，而不是由市場價格路徑觸發，因此它是訂單流變異的來源，合理地與誤差中的動量反應部分不相關。排除限制——你的成交只透過其對淨流量的貢獻來推動中間價——是需要論證的假設；而當你的報價本身由訊號驅動時，這個假設恰好最弱。如果報價以短期價格預測為條件，工具變數就受到污染，這個設計會失效。純粹的庫存管理或捕捉價差策略所產生的成交，才是乾淨的案例。

成交資料來自執行不足與 DIY TCA所描述的 TCA 紀錄——也是為使用自有成交估計滑點曲線提供擬合樣本的同一份日誌。控制變數：滯後的 $\Delta S$ 和窗口內的實現波動率。

# per 5-min bin over the sample:
#   dS        mid-price change             (outcome)
#   q_net     signed net taker flow        (endogenous)
#   q_own     signed own-fill quantity     (instrument)
#   dS_lag, rv  controls
ols  = IV2SLS(dependent=df.dS, exog=df[["const", "dS_lag", "rv"]],
              endog=None, instruments=None).fit(cov_type="robust")
tsls = iv_regression(df, "dS", "q_net", ["q_own"], ["dS_lag", "rv"])

四個數字決定這件事是否值得做：OLS $\gamma$、2SLS $\gamma$、第一階段 $F$，以及兩個係數之間的差距——它表示 OLS 估計中有多少其實是動量反應，而不是衝擊。

如果第一階段 $F$ 低於 10，這就是結果：在 5 分鐘解析度上，自有成交在淨流量中所占比例太小，無法識別 $\gamma$；誠實的寫法應是誠實的負結果風格的負面結論。弱工具變數導致的負結果是真實發現——它告訴你，在這個樣本量和時間跨度下，Gamma 擬合中的內生性無法修正，而建立在 OLS $\gamma$ 上的交易前成本估計帶有無法移除的向上偏差。

診斷

第一階段 F（弱工具變數）。 Staiger-Stock 經驗法則：$F > 10$。對一個內生回歸變數而言，Stock-Yogo 臨界值更嚴格——在最大 IV 大小為 10% 時，一個工具變數要求 $F > 16.38$，兩個工具變數要求 19.93，三個要求 22.30；在 15% 時為 8.96 / 11.59 / 12.83；在 20% 時為 6.66 / 8.75 / 9.54。

$$F = \frac{(R_{\text{unrestricted}}^2 - R_{\text{restricted}}^2) / q}{(1 - R_{\text{unrestricted}}^2) / (n - k)}$$

Durbin-Wu-Hausman（是否真的需要 IV）。 如果 OLS 一致，它也會更有效率，因此切換前要先檢驗。實務上使用殘差增補形式：執行第一階段，保留 $\hat{v}_i = X_i - \hat{X}_i$，然後在結構 OLS 回歸中加入 $\hat{v}_i$ 作為回歸變數。$\hat{v}_i$ 的係數顯著，便是內生性的證據。

def durbin_wu_hausman(df, dep, endog, instruments, controls):
    """Augmented-regression form of the DWH endogeneity test."""
    import statsmodels.api as sm
    X1 = sm.add_constant(df[instruments + controls])
    v_hat = df[endog] - sm.OLS(df[endog], X1).fit().fittedvalues
    X2 = sm.add_constant(df[[endog] + controls].assign(v_hat=v_hat))
    res = sm.OLS(df[dep], X2).fit(cov_type="HC1")
    return res.tvalues["v_hat"], res.pvalues["v_hat"]

Sargan-Hansen（過度識別）。 當工具變數數量 $q > p$ 時，可以檢驗聯合有效性：$J = n \cdot R^2_{\hat{\varepsilon} \sim \mathbf{Z}} \sim \chi^2(q - p)$。其中的 $R^2$ 來自以所有工具變數和外生控制變數回歸 2SLS 殘差。注意事項比統計量更重要：Sargan 只能檢測以不同方式失效的工具變數。如果所有工具變數都與同一個遺漏變數相關，檢驗會乾淨地通過，卻什麼也沒告訴你。

加密貨幣微觀結構中存在的工具變數

找到有效工具變數才是全部難點；股權與公司金融中常用的工具（分析師覆蓋、稅盾、意外現金流）在這裡都不起作用。實際適用的有兩類：

陷阱

弱工具變數不會大聲失效。 第一階段較弱時，2SLS 在有限樣本中會偏向 OLS，大致為

$$\frac{\text{Bias}_{2\text{SLS}}}{\text{Bias}_{\text{OLS}}} \approx \frac{1}{F - 1}.$$

在 $F = 5$ 時，你在報告一個“因果”估計的同時，仍保留 OLS 偏差的 25%。補救方法是 LIML，它在有限樣本中的表現更好；或者使用 Anderson-Rubin 檢驗，它不論工具變數強度如何都有效。

工具變數過多會造成偏差。 $\text{Bias}_{2\text{SLS}} \approx (q/n) \cdot \text{Bias}_{\text{OLS}}$。把所有變數的滯後項都塞進 $\mathbf{Z}$ 來提高第一階段 $F$，會讓估計值直接走回 OLS。如果 $q/n$ 不可忽略，請使用 LIML、jackknife IV（JIVE）或正則化的第一階段。

排除限制無法被檢驗。 不是 Sargan，也不是任何其他方法。它只能用領域推理來辯護，而這種辯護最誠實的形式是敏感度分析：需要多大的違反程度，才足以推翻結論？

要點

• 折減修正的是搜尋造成的偏差，對係數中的偏差毫無作用。這是兩種不同的失效，需要不同的工具。
• 內生性偏差不會隨樣本量增加而消失。一個緊密、經過良好 bootstrap 和滾動前向驗證的係數，仍可能系統性地錯誤。
• Almgren-Chriss 校準中的 Gamma 回歸是一個真實的內部案例：它有具名工具變數（自有成交），而資料已由 TCA 流程記錄。
• 在報告 2SLS 係數之前，先報告第一階段 $F$。低於 10 時，係數不是證據，而明確說出這一點就是可發表的結果。