《打造自己的套利机器人》课程第 5 课。机器人的第一阶段变得更聪明了：我们不再比较两个价格，而是查看一圈货币的兑换。
问题
在一家交易所上，你可以把 USD 换成 EUR，把 EUR 换成 GBP，再把 GBP 换成 USD，还可以兑换许多其他货币。第 2 课讲过，沿着 USD 到 EUR、EUR 到 GBP、再到 USD 的路线兑换一圈，结束时可能比开始时有更多的钱。只有三种货币时，你可以在脑中算出来；有五十种货币时，就会有几千种兑换环。你需要一种不用逐个尝试每个环的方法。
本课先打好基础，目前还不会搜索。第 6、7、8 课会讲如何搜索。
直接的方法，以及它的极限
最直接的方法是：列出每一个环，然后把其中的汇率相乘。只有 3 种货币时，环的数量不多，你可以像第 2 课那样在脑中算出来。但如果有 50 种货币，长度为 3 步的环有 50 × 49 × 48 = 117 600 个，长度为 4 步的环有 5 527 200 个，而且每多一步，数量大约就会乘以 50。程序还能处理少量步骤，但对于真实交易所来说，增长得太快。第 6 课会用代码运行这种直接搜索，并测量它会在哪个规模失效。本课先介绍一种更好的表示方式。
第 1 步：画出来
图是由箭头连接起来的一组点。这里的点代表货币，叫作节点。从 A 到 B 的箭头表示“你可以把 A 换成 B”，箭头旁边的数字是汇率：每 1 单位 A 可以换到多少单位 B。箭头也叫边。
这个小型市场：
USD --0.90--> EUR
EUR --0.88--> GBP
GBP --1.30--> USD
EUR --1.10--> USD
一个环是一条回到起点的路线。USD、EUR、GBP、USD 就是一个有三条边的环。
第 2 步：跟着钱走
从 100 USD 开始，沿着这个环兑换：
- USD 换成 EUR 后：100 × 0.90 = 90 EUR
- EUR 换成 GBP 后：90 × 0.88 = 79.2 GBP
- GBP 换成 USD 后：79.2 × 1.30 = 102.96 USD
沿着这个环兑换，相当于把你的钱乘以 0.90 × 0.88 × 1.30 = 1.0296。乘积大于 1 表示盈利，小于 1 表示亏损，正好等于 1 则没有变化。
所以问题是：有没有一个环，汇率乘积大于 1？
第 3 步：乘法的问题
搜索图的程序擅长把一条路径上的数字相加（“这段路是 3 km，接着是 5 km，总共 8”），却不擅长相乘。我们能把乘法变成加法吗？
可以，用对数。对于本课程，你只需要记住自然对数（写作 ln）的三个性质：
- ln(a × b) = ln(a) + ln(b)。乘法变成加法。
- ln(1) = 0。
- 如果 x 大于 1，ln(x) 是正数；如果 x 在 0 和 1 之间，ln(x) 是负数。
你可以用任何计算器验证这些性质。例如，ln(2) = 0.693，ln(3) = 1.099，而 ln(6) = 1.792，正好等于 0.693 + 1.099。
把性质 1 用在我们的环上：
ln(0.90 × 0.88 × 1.30) = ln(0.90) + ln(0.88) + ln(1.30)
计算结果：−0.1054 − 0.1278 + 0.2624 = +0.0292。
这个环的总和是 +0.0292。大于 1 的乘积变成了大于 0 的和。这样，我们就把“相乘”变成了“相加”。
第 4 步：反转符号
图算法通常要找较短或代价较低的路径，所以数字越小越好，负数最好。我们希望盈利对应较小的负数，因此要反转符号。把一条边的权重定义为：
权重 = −ln(汇率)
那么在我们的环上：
- USD 到 EUR：−ln(0.90) = +0.1054
- EUR 到 GBP：−ln(0.88) = +0.1278
- GBP 到 USD：−ln(1.30) = −0.2624
总权重 = −0.0292，小于零。
有利可图的环，是权重之和小于零的环。它叫作负环。
规则可以概括成两行：
- 汇率乘积大于 1，等价于权重之和小于 0；
- 环的资金倍数等于 e 的负总权重次方（这里 e^0.0292 = 1.0296）。
第 5 步：用代码看看
import math
rates = {
("USD", "EUR"): 0.90,
("EUR", "GBP"): 0.88,
("GBP", "USD"): 1.30,
("EUR", "USD"): 1.10,
}
money = 100.0
for a, b in [("USD", "EUR"), ("EUR", "GBP"), ("GBP", "USD")]:
money *= rates[(a, b)]
print(a, "->", b, "money =", round(money, 4))
print("product of rates:", round(0.90 * 0.88 * 1.30, 4))
weights = {edge: -math.log(rate) for edge, rate in rates.items()}
for edge, w in weights.items():
print(edge, round(w, 4))
cycle = [("USD", "EUR"), ("EUR", "GBP"), ("GBP", "USD")]
total = sum(weights[e] for e in cycle)
print("sum of weights:", round(total, 4))
print("money multiplier:", round(math.exp(-total), 4))
输出：
USD -> EUR money = 90.0
EUR -> GBP money = 79.2
GBP -> USD money = 102.96
product of rates: 1.0296
('USD', 'EUR') 0.1054
('EUR', 'GBP') 0.1278
('GBP', 'USD') -0.2624
('EUR', 'USD') -0.0953
sum of weights: -0.0292
money multiplier: 1.0296
两种检查结果一致：资金从 100 变成了 102.96，权重之和是 −0.0292，而 e 的 0.0292 次方等于 1.0296。
手续费如何计算
每笔交易收取 0.1% 的手续费，意味着你实际得到的金额是汇率所示金额的 0.999 倍。在取对数之前，把每个汇率 r 替换为 r × 0.999。对于有三条边的环，资金倍数会降低约 0.3%，我们的环还能扛住：1.0296 × 0.999 × 0.999 × 0.999 ≈ 1.0265，也就是 2.96% 变成大约 2.65%。但只有 0.2% 利润的环就会消失：手续费吃掉的比它赚的还多。这就是为什么真正的机器人的第一道筛选会把手续费放进权重里；我们会在第 10 课这样做。
让 AI 智能体编写程序
含糊的请求：
在货币图中寻找套利机会。
准确对应这一步的请求：
编写 graph.py。接收一个汇率字典 {("USD","EUR"): 0.90, ...}，把权重设为自然对数的相反数，并添加一个 cycle_gain(cycle) 函数，让它返回给定兑换环的资金倍数，计算方式是 e 的负权重和次方。使用汇率 0.90、0.88、1.30，对 USD、EUR、GBP、USD 这条路线进行测试并打印结果。结果必须是 1.0296。现在先不要搜索兑换环。
如果智能体打印了其他结果，说明检查没有通过，你就让它修好。这样，你就能用一个可以手动验证的数字来检查结果。
练习
- 运行上面的代码。打印出的五个数字和我的一样吗？
- 手动创建一个有三个汇率的市场：A 到 B 是 2.0，B 到 C 是 0.6，C 到 A 是 0.9。先手算乘积，再计算权重和权重总和。这个环能盈利吗？（乘积 = 1.08，所以可以。）然后用代码验证。
- 修改一个汇率，让乘积正好变成 1.0，再检查权重和是否为 0。
- 沿着同一个环反方向兑换。证明如果一个方向的乘积是 p，那么反方向的乘积约为 1/p（每条反向箭头使用汇率 1/r）。所以两个方向不可能同时盈利。
接下来
现在的问题是：面对有许多节点的图，如何不用尝试每个环就找到负环？第 6 课会介绍经典答案 Bellman-Ford。
