非對稱與厚尾GARCH：EGARCH、GJR與Student-t

在本系列第一部分中，我們從零開始構建了GARCH(1,1)：波動率聚集的直覺、條件方差的遞推關係、最大似然估計、預測，以及使用arch庫進行標準殘差診斷。如果你還沒有讀過那篇文章，建議先從那裡開始——本文假設你已經能夠擬合併解讀一個普通的GARCH(1,1)，不會重新推導基礎內容。

普通GARCH(1,1)是一個不錯的基線模型，但絕不是最終答案。它有兩個結構性缺陷，在回測中容易被忽視，但用真金白銀交易時代價高昂。第一，它是對稱的：模型對$+5\%$的一天和$-5\%$的一天反應完全一致，因為衝擊只通過其平方項$\varepsilon_{t-1}^2$進入方差遞推式，平方運算抹去了符號資訊。第二，它假設高斯新息：即使GARCH已經吸收了波動率聚集效應，BTC和ETH的標準化殘差依然明顯厚尾，而高斯似然函數系統性地低估了尾部風險。一個GARCH(1,1)-Normal模型的99% VaR會被突破的次數遠超1%。

本文修正這兩個缺陷。我們用GJR-GARCH和EGARCH引入非對稱性，用Student-$t$和Hansen偏態-$t$新息引入厚尾。然後我們做真正有實際意義的事情：把擬合出的條件分佈轉化為一步風險價值（VaR）和預期損失（Expected Shortfall）預測，並用Kupiec檢驗和Christoffersen檢驗誠實地回測這些預測。一個從未經過風險檢驗的波動率模型只是擺設。

槓桿效應，以及加密市場為何更加混亂

在股票市場中，這種非對稱性有一個名字和一套解釋。槓桿效應（Black, 1976）：當一家公司的股價下跌時，其債務權益比上升，股權在機制上變得更具風險，波動率隨之上升。壞訊息推高未來波動率的幅度大於同等規模的好訊息。從實證角度看，這是股票波動率文獻中最穩健的典型事實之一。

加密資產沒有股權，在公司層面上也沒有資產負債表槓桿，但類似槓桿效應的非對稱性大多數時候依然存在——其驅動力是強制去槓桿，而非會計因素。當BTC大幅下跌時，超額抵押貸款被清算，永續合約多頭被強制平倉，資金費率翻轉，連鎖反應進一步推高波動率。所以機制不同，但符號方向往往與股票市場一致：下跌行情更容易引發波動率飆升。

需要強調的重要前提是：加密市場更加混亂，你應當把非對稱性視為一個需要實證檢驗的問題，而非一條鐵律。劇烈的上漲行情——空頭擠壓、槓桿驅動的暴漲、ETF獲批帶來的跳空——同樣可能推高已實現波動率。根據資產和樣本視窗的不同，估計出的非對稱性可能很強、很弱，甚至偶爾出現"錯誤"的符號。本文堅持的原則是：擬合非對稱模型，檢查非對稱參數是否在統計上顯著且方向符合預期，只有當額外參數確實發揮作用時才保留它。不要假設股票市場的故事可以直接照搬過來，要去檢驗它。

建模之前先檢驗非對稱性

上文的原則是"把非對稱性當作實證問題"——所以在擬合非對稱模型之前，先做一個低成本的正式檢驗，判斷非對稱性是否真的存在。Engle-Ng符號偏差檢驗（1993）正是為此而設計。先擬合一個對稱的GARCH(1,1)，取其標準化殘差的平方$z_t^2$，然後對上一期衝擊的符號和大小指標進行迴歸：

$z_t^2 = a_0 + a_1 S_{t-1}^- + a_2 S_{t-1}^- \varepsilon_{t-1} + a_3 S_{t-1}^+ \varepsilon_{t-1} + u_t$

其中$S_{t-1}^- = \mathbf{1}\{\varepsilon_{t-1} < 0\}$，$S_{t-1}^+ = 1 - S_{t-1}^-$。邏輯是：如果對稱模型已經捕捉了所有資訊，那麼昨天衝擊的符號和大小就不應該能預測今天的平方殘差，也就是說$a_1 = a_2 = a_3 = 0$。單獨的$t$檢驗分別稱為符號偏差檢驗（$a_1$）、負向規模偏差檢驗（$a_2$）和正向規模偏差檢驗（$a_3$）；對三者的聯合$F$檢驗稱為綜合檢驗。顯著的$a_1$或$a_2$說明對稱模型系統性地錯誤定價了負向衝擊——這是GJR或EGARCH會有幫助的訊號。

import statsmodels.api as sm

def sign_bias_test(symmetric_res):
    """Engle-Ng sign-bias tests on a fitted symmetric GARCH result."""
    z = symmetric_res.std_resid.dropna()
    z2 = (z ** 2).values[1:]
    eps_lag = z.values[:-1]                      # standardized shock proxy
    neg = (eps_lag < 0).astype(float)
    X = np.column_stack([
        np.ones_like(eps_lag),                   # intercept
        neg,                                     # sign bias
        neg * eps_lag,                           # negative size bias
        (1 - neg) * eps_lag,                     # positive size bias
    ])
    ols = sm.OLS(z2, X).fit()
    names = ["const", "sign_bias", "neg_size_bias", "pos_size_bias"]
    for nm, coef, t, p in zip(names, ols.params, ols.tvalues, ols.pvalues):
        print(f"{nm:16s} coef={coef:+.4f}  t={t:+.2f}  p={p:.3f}")
    print(f"Joint F p-value: {ols.f_pvalue:.4f}")
    return ols

sign_bias_test(models["GARCH-N"])

如果聯合$F$檢驗不顯著，你就獲得了在實證上保持對稱、省下兩個參數的許可。如果它顯著——對BTC/ETH而言這是常見結果——那麼可以放心地轉向GJR/EGARCH，因為你確實在建模一個真實的特徵，而非追逐噪聲。這正是前文所要求的實證紀律：不要假設股票市場的槓桿效應故事，要去檢驗它。

GJR-GARCH：通過閾值項引入非對稱性

Glosten-Jagannathan-Runkle模型（1993）——有時也稱為TGARCH或閾值GARCH——是對GARCH(1,1)最小幅度的修改，使壞訊息和好訊息能產生不同的影響。回顧第一部分中對稱的條件方差遞推式：

$\sigma_t^2 = \omega + \alpha\,\varepsilon_{t-1}^2 + \beta\,\sigma_{t-1}^2$

GJR添加了一個閾值項：只有在負向衝擊之後才會啟動的額外方差量。

$\sigma_t^2 = \omega + \alpha\,\varepsilon_{t-1}^2 + \gamma\,I_{t-1}\,\varepsilon_{t-1}^2 + \beta\,\sigma_{t-1}^2$

其中$I_{t-1}$是指示函數

$I_{t-1} = \begin{cases} 1 & \text{if } \varepsilon_{t-1} < 0 \\ 0 & \text{if } \varepsilon_{t-1} \geq 0 \end{cases}$

按情形解讀這個遞推式。在正向衝擊後（$\varepsilon_{t-1} \geq 0$），指示函數為零，平方衝擊對下一期方差的影響就是$\alpha$。在負向衝擊後，指示函數為一，影響變為$\alpha + \gamma$。參數$\gamma$用一個數字概括了整個非對稱性的故事：

• $\gamma > 0$：負向衝擊比同等幅度的正向衝擊更能推高波動率。這就是槓桿效應，也是你在大多數情況下預期在BTC/ETH中發現的模式。
• $\gamma = 0$：模型退化回對稱的GARCH(1,1)。因此對$\gamma$的似然比檢驗或$t$檢驗直接檢驗非對稱性是否存在。
• $\gamma < 0$：正向衝擊更能推高波動率——這是偶爾出現的加密市場暴漲行情。較為罕見，但不應先驗地排除。

正定性與平穩性

由於$\sigma_t^2$依然是加法構建的，我們需要每一項都保持非負。充分的正定條件是

$\omega > 0, \quad \alpha \geq 0, \quad \alpha + \gamma \geq 0, \quad \beta \geq 0.$

注意$\gamma$本身可以為負，只要$\alpha + \gamma \geq 0$即可，這樣壞訊息之後的影響就不會變成負數。

對於協方差平穩性，假設新息$z_t = \varepsilon_t/\sigma_t$是圍繞零點對稱分佈的標準化變數，因此$P(\varepsilon_{t-1} < 0) = 1/2$，指示函數平均貢獻$\gamma/2$。平穩性條件變為

$\alpha + \beta + \tfrac{1}{2}\gamma < 1.$

無條件（長期）方差則為

$\bar{\sigma}^2 = \frac{\omega}{1 - \alpha - \beta - \tfrac{1}{2}\gamma}.$

這是第一部分結果$\bar{\sigma}^2 = \omega/(1-\alpha-\beta)$在GJR中的對應版本，多出的$\tfrac{1}{2}\gamma$項體現了槓桿半衰期的平均貢獻。如果你的新息分佈是偏態的（下文的Hansen偏態-$t$），$1/2$會被$z_t < 0$的實際機率所替代，但$1/2$是用於報告持續性時的標準參照值。

EGARCH：對數方差建模，無正定性約束

GJR始終把你限制在方差非負的緊箍咒裡：每一組參數組合都需要檢驗是否滿足不等式約束，這在最佳化過程中令人煩惱，在滾動重估計時更是麻煩，因為某個視窗偶爾會漂移到不可行域。Nelson的指數GARCH（EGARCH，1991）通過對條件方差的對數建模，完全繞開了這個問題。因為$\log \sigma_t^2$可以是任意實數，$\sigma_t^2 = \exp(\log \sigma_t^2)$無論參數取何值都自動為正，無需施加任何約束。

用標準化新息$z_{t-1} = \varepsilon_{t-1}/\sigma_{t-1}$寫出遞推式：

$\log \sigma_t^2 = \omega + \beta \log \sigma_{t-1}^2 + \alpha\bigl(|z_{t-1}| - \mathbb{E}|z_{t-1}|\bigr) + \gamma\, z_{t-1}$

有兩個項承載了衝擊資訊，把它們分開正是整個思路的核心：

• 幅度項$\alpha(|z_{t-1}| - \mathbb{E}|z_{t-1}|)$對沖擊的大小作出反應，符號被剔除。減去$\mathbb{E}|z_{t-1}|$使其居中，這樣一個平均幅度的衝擊貢獻為零。對標準正態分佈，$\mathbb{E}|z| = \sqrt{2/\pi} \approx 0.7979$；對標準化的Student-$t$分佈，期望絕對值更小且依賴於$\nu$，但arch會在內部處理這一點。
• 符號項$\gamma\, z_{t-1}$就是非對稱性所在。它對帶符號的新息是線性的，所以負的$z_{t-1}$會把$\log\sigma_t^2$推向與正值相反的方向。

符號約定容易讓人搞混。在這種參數化方式下，槓桿效應（壞訊息推高波動率）對應$\gamma < 0$：負向衝擊$z_{t-1} < 0$使得$\gamma z_{t-1} > 0$，從而增加對數方差。這與GJR中$\gamma > 0$的符號正好相反。請始終查閱模型自身的文件以確認約定，而不要憑記憶假設；arch按其自身的符號約定報告EGARCH結果，我們在下文通過新聞衝擊曲線來核實，而不是依賴記憶。

由於對數形式下一切都是可加的，EGARCH(1,1)的持續性完全由$\log\sigma_{t-1}^2$上的單一自迴歸係數$\beta$決定；平穩性只需要$|\beta| < 1$。這比GJR的不等式條件簡潔得多，在滾動視窗重新擬合時具有真正的實踐優勢。

值得指出的一個微妙之處：EGARCH對沖擊的響應在指數意義上是指數式的（最後要取指數），而GJR是二次的。因此EGARCH對大幅衝擊的反應更加劇烈——在加密市場中，尾部事件才是真正重要的，這是一個優點，但也是EGARCH偶爾在一個異常日之後產生不切實際地過大方差預測的原因。兩者都不是普遍更優的，你應當根據樣本外擬合效果和風險回測來選擇，這正是本系列文章的核心目的。

新聞衝擊曲線

觀察對稱GARCH、GJR和EGARCH之間差異的最清晰方式是新聞衝擊曲線（Engle and Ng, 1993）：將$\sigma_{t-1}$固定在其長期水平，畫出下一期條件方差$\sigma_t^2$作為上一期衝擊$\varepsilon_{t-1}$的函數。它回答的問題是"給定這樣大小和符號的一個衝擊，模型會把明天的波動率抬高多少？"

• 對稱GARCH產生一條以零為中心的對稱拋物線。$-5\%$和$+5\%$的衝擊落在相同的高度上。這正是我們要修正的缺陷。
• GJR產生一條在零點有拐折的拋物線——當$\gamma > 0$時，左側（負向衝擊）比右側更陡。兩側的曲率分別為$\alpha+\gamma$和$\alpha$。
• EGARCH產生一條非對稱的指數V形曲線：由於$\gamma z$項的存在，兩側的斜率不同，並且由於最後的指數運算，整條曲線的上升速度比拋物線更快。

我們將在後面的實現部分，用擬合出的參數把三者一併畫出——這是傳達非對稱性帶來的價值時最有用的單一診斷圖。

厚尾：Student-t與偏態-t新息

非對稱性修正的是模型對沖擊符號的反應。它對沖擊本身的分佈無能為力。普通GARCH假設$z_t \sim \mathcal{N}(0,1)$，而這一假設對加密資產幾乎總是錯誤的。即使GARCH消除了波動率聚集效應，標準化殘差$z_t = \varepsilon_t / \sigma_t$依然保留超額峰度——它們是厚尾的。高斯似然函數擬合的是分佈的肩部，低估了標準化後4-sigma、5-sigma、6-sigma的極端日實際發生的頻率。

這對風險管理的後果是直接的。高斯99% VaR使用分位數$\Phi^{-1}(0.01) \approx -2.326$，因此預測$\text{VaR}_{0.99} \approx 2.326\,\sigma_t$。如果真實的標準化分佈是自由度$\nu = 5$的Student-$t$分佈，真實的1%分位數接近$-3.36$——高斯VaR在這個置信水平上樂觀了大約$44\%$。你會遇到遠超1%頻率的突破，並被"不可能"的日子系統性地驚到。這不是加密市場的特殊現象；Bollerslev（1987）正是因為觀察到股票和外匯殘差存在同樣的厚尾現象而提出了$t$-GARCH。加密市場只是同一問題的更極端版本。

標準化Student-t

Student-$t$密度有一個自由度參數$\nu > 2$，控制尾部厚度：$\nu$越小尾部越厚，當$\nu \to \infty$時$t$分佈收斂到高斯分佈。需要注意的是，原始$t_\nu$分佈的方差是$\nu/(\nu-2) \neq 1$，所以在把它用作新息之前必須先將其標準化為單位方差——否則GARCH遞推式中的"$\sigma_t$"就不再真正是條件標準差。

單位方差的標準化Student-$t$新息的密度為

$f(z;\nu) = \frac{\Gamma\!\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\pi(\nu-2)}\;\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}\left(1 + \frac{z^2}{\nu-2}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}, \qquad \nu > 2.$

注意內部的$(\nu-2)$——那正是標準化項，用於確保$\mathrm{Var}(z)=1$。給定GARCH條件方差$\sigma_t^2$以及$z_t = \varepsilon_t/\sigma_t$，單個觀測值的對數似然貢獻為

$\ell_t = \log\Gamma\!\left(\tfrac{\nu+1}{2}\right) - \log\Gamma\!\left(\tfrac{\nu}{2}\right) - \tfrac{1}{2}\log\bigl(\pi(\nu-2)\bigr) - \tfrac{1}{2}\log\sigma_t^2 - \frac{\nu+1}{2}\log\!\left(1 + \frac{z_t^2}{\nu-2}\right).$

$-\tfrac{1}{2}\log\sigma_t^2$這一項是從$\varepsilon_t$到$z_t$變換的雅可比行列式——你在第一部分的高斯GARCH似然函數中已經見過這一項。只有形狀部分發生了變化。對GARCH參數和$\nu$聯合最大化$\sum_t \ell_t$，正是當你傳入dist='t'時arch所做的事情。

估計出的$\nu$本身就具有資訊價值。對於BTC/ETH的日度收益率，你通常會得到$\nu \approx 3\text{–}6$的範圍——厚尾，但方差仍然有限（需要$\nu > 2$），峰度通常也有限（需要$\nu > 4$）。如果擬合出的$\nu$低於4，需要注意在該模型中樣本峰度在理論上是無限的，某些估計量會變得不穩定；這是一個提示你應仔細審視異常值和資料質量的訊號。

Hansen偏態-t

Student-$t$雖然厚尾，但依然是對稱的——左右兩側尾部同樣厚。加密資產收益率殘差往往同時表現出偏態：左尾（暴跌）比右尾更厚。Hansen偏態-$t$分佈（1994）在標準化$t$分佈的基礎上，除$\nu$外再引入一個偏度參數$\lambda \in (-1, 1)$，加以推廣：

$f(z;\nu,\lambda) = \begin{cases} b\,c\left(1 + \dfrac{1}{\nu-2}\left(\dfrac{bz+a}{1-\lambda}\right)^2\right)^{-\frac{\nu+1}{2}} & z < -a/b \\[2mm] b\,c\left(1 + \dfrac{1}{\nu-2}\left(\dfrac{bz+a}{1+\lambda}\right)^2\right)^{-\frac{\nu+1}{2}} & z \geq -a/b \end{cases}$

其中常數$a = 4\lambda c\,\frac{\nu-2}{\nu-1}$、$b^2 = 1 + 3\lambda^2 - a^2$、$c = \frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}{\sqrt{\pi(\nu-2)}\,\Gamma(\frac{\nu}{2})}$的選取使得對任意合法的$(\nu,\lambda)$，$z$的均值為零、方差為一。該分佈在$z = -a/b$處分段，兩段各自使用不同的縮放，將更多的機率質量彎向其中一側尾部。

解讀：$\lambda < 0$給出左偏分佈（下行尾部更重），這是加密資產的常見結果，也與槓桿效應相互印證。$\lambda = 0$則退化為對稱的Student-$t$分佈，因此對$\lambda = 0$的檢驗能告訴你偏度項是否真正有用。在arch中這對應dist='skewt'，同時估計$\nu$和$\lambda$。其收益是得到一個左尾分位數確實比右尾分位數更重的VaR——這正是當你試圖承受的損失本身是非對稱的時候所需要的。這與虧損與盈利之間的非對稱性在持倉結果中的體現直接相關：跌幅$x\%$需要超過$x\%$才能收復，所以左尾建模失誤的代價高於右尾建模失誤。

Python實現

現在我們用arch庫來擬合這一切。設定方式與第一部分相同：抓取日度收益率，乘以100進行數值調節（當收益率量級為$O(0.01)$時，GARCH最佳化器表現不佳），並用常數均值擬合。如果你需要日內資料或不同的均值模型，機制是完全一樣的。

設定與資料

import numpy as np
import pandas as pd
from arch import arch_model
from arch.univariate import GARCH, EGARCH, ConstantMean, StudentsT, SkewStudent
from scipy import stats

def fetch_returns(symbol="BTC-USD", start="2019-01-01", end="2025-12-31"):
    """Daily log returns, in percent (scaled x100 for the optimizer)."""
    import yfinance as yf
    px = yf.download(symbol, start=start, end=end)["Close"].dropna()
    ret = 100.0 * np.log(px / px.shift(1)).dropna()
    ret.name = symbol
    return ret

r = fetch_returns("BTC-USD")
print(f"{len(r)} daily observations, "
      f"annualized vol ~ {r.std() * np.sqrt(365):.0f}%")

加密市場是7x24小時交易的，所以我們用365而不是252來年化——這是一個不大但反覆出現的困擾來源，當你把加密資產的Sharpe比率或波動率與股票交易臺的數字對比時容易搞混。

擬合四個模型

arch中的模式是：vol='Garch'配合p=1, q=1得到對稱GARCH；加上o=1會啟用GJR閾值項；vol='EGARCH'則切換到對數方差模型。新息分佈通過dist設定：'normal'、't'、'skewt'。

def fit(returns, vol="Garch", p=1, o=0, q=1, dist="normal"):
    am = arch_model(returns, mean="Constant",
                    vol=vol, p=p, o=o, q=q, dist=dist)
    res = am.fit(disp="off")
    return res

models = {
    "GARCH-N":    fit(r, vol="Garch",  o=0, dist="normal"),  # Part 1 baseline
    "GJR-t":      fit(r, vol="Garch",  o=1, dist="t"),        # asymmetry + fat tails
    "EGARCH-t":   fit(r, vol="EGARCH", o=1, dist="t"),        # log-variance asymmetry
    "GJR-skewt":  fit(r, vol="Garch",  o=1, dist="skewt"),    # + skew
}

for name, res in models.items():
    print(f"\n===== {name} =====")
    print(res.summary().tables[1])   # parameter table

對vol='EGARCH'而言，o參數控制非對稱（$\gamma z$）項，p/q控制幅度項和滯後項；o=1, p=1, q=1即標準的EGARCH(1,1)。有一個陷阱需要留意：EGARCH在arch中的參數名字雖然一樣，但非對稱項的符號約定遵循Nelson的定義，所以負的估計值才對應槓桿效應。我們通過新聞衝擊曲線來核實這一點，而不是憑記憶判斷。

解讀GJR擬合結果

一個GJR-$t$參數列大致如下（示例性數值，並非某次真實實驗的報告結果——請用你自己的資料重新擬合）：

                  coef    std err       t      P>|t|
omega           0.0480     0.017     2.82     0.005
alpha[1]        0.0620     0.018     3.44     0.001
gamma[1]        0.0910     0.028     3.25     0.001
beta[1]         0.8850     0.021    42.1      0.000
nu              4.30       0.55      7.82     0.000

如何解讀：

• gamma[1] = 0.091且$t$統計量超過3，是一個統計上顯著的槓桿效應。負向衝擊之後，平方衝擊的影響為$\alpha + \gamma = 0.062 + 0.091 = 0.153$；正向衝擊之後僅為$\alpha = 0.062$。同等幅度下，壞訊息使該模型的波動率變化幅度大約是好訊息的$2.5$倍。
• nu = 4.3證實了厚尾特徵——遠離高斯分佈（$\nu \to \infty$），且低到四階矩幾乎不再有限的程度。在這條序列上使用高斯VaR會嚴重偏樂觀。
• 持續性為$\alpha + \beta + \tfrac{1}{2}\gamma = 0.062 + 0.885 + 0.0455 \approx 0.993$——非常高，這在日度加密資產資料中很常見：衝擊衰減緩慢，波動率高度聚集。

最需要檢查的一行是$\gamma$那一行。如果它的$p$值較大，說明非對稱項在這個資產和這個視窗上沒有發揮作用，應當選擇更簡單的對稱模型。這是模型選擇的紀律，不是裝飾——下文還會詳述。

用資訊準則比較模型

對數似然在你新增參數時總會改善，所以不能僅憑對數似然來選擇模型。應使用懲罰參數數量的AIC/BIC（BIC的懲罰更嚴厲）：

def compare(models: dict) -> pd.DataFrame:
    rows = []
    for name, res in models.items():
        rows.append({
            "model": name,
            "n_params": len(res.params),
            "loglik": res.loglikelihood,
            "AIC": res.aic,
            "BIC": res.bic,
        })
    df = pd.DataFrame(rows).set_index("model")
    return df.sort_values("BIC")

print(compare(models))

經驗判斷規則：相對基線模型BIC改善超過約6分是額外結構真實存在的有力證據；1-2分的差異屬於噪聲。如果GJR-t相對GARCH-N改善了30分以上BIC，但GJR-skewt相對GJR-t只改善了1分，那就保留$t$分佈、捨棄偏度——偏度參數在這份資料上沒有回本。不要把AIC/BIC當作樣本外驗證的替代品；它們獎勵調整了複雜度之後的樣本內擬合優度，這是必要條件但不充分。真正的檢驗是VaR回測，以及最終的前向滾動評估。

繪製新聞衝擊曲線

這是收益最直接的一張圖——它讓非對稱性變得可見，並驗證了EGARCH的符號約定。

import matplotlib.pyplot as plt

def news_impact_curve(res, shock_grid):
    """
    Next-period conditional variance as a function of the last shock,
    holding sigma_{t-1} at the model's unconditional level.
    Works for symmetric GARCH, GJR (o=1), and EGARCH.
    """
    p = res.params
    vol_name = res.model.volatility.__class__.__name__
    sigma2_bar = np.mean(res.conditional_volatility ** 2)

    omega = p["omega"]
    alpha = p.get("alpha[1]", 0.0)
    gamma = p.get("gamma[1]", 0.0)
    beta  = p.get("beta[1]", 0.0)

    if vol_name == "EGARCH":
        sig_prev = np.sqrt(sigma2_bar)
        z = shock_grid / sig_prev
        E_abs = np.sqrt(2 / np.pi)   # approx; arch uses the fitted dist's E|z|
        log_s2 = (omega + beta * np.log(sigma2_bar)
                  + alpha * (np.abs(z) - E_abs) + gamma * z)
        return np.exp(log_s2)
    else:
        ind = (shock_grid < 0).astype(float)
        return omega + (alpha + gamma * ind) * shock_grid**2 + beta * sigma2_bar

shocks = np.linspace(-8, 8, 401)   # daily % shocks
plt.figure(figsize=(8, 5))
for name in ["GARCH-N", "GJR-t", "EGARCH-t"]:
    nic = news_impact_curve(models[name], shocks)
    plt.plot(shocks, nic, label=name, lw=2)
plt.axvline(0, color="gray", lw=0.8, ls="--")
plt.xlabel("Last shock  $\\varepsilon_{t-1}$  (daily %)")
plt.ylabel("Next-period conditional variance  $\\sigma_t^2$")
plt.title("News impact curve: symmetric vs GJR vs EGARCH (BTC)")
plt.legend()
plt.tight_layout()

執行這段程式碼後，對稱的GARCH-N曲線是一條以零為中心的乾淨拋物線——$-6\%$和$+6\%$的衝擊給出完全相同的方差。GJR-t是一條在原點處有拐折的拋物線，左側臂更高。EGARCH-t則呈現指數V形，如果它的左側臂位於右側臂之上，你就在一瞥之間確認了槓桿效應和符號約定。如果EGARCH的左側臂反而低於右側，要麼$\gamma$估計為正（上行波動率機制），要麼你把符號弄反了——這張圖無需任何猜測就能告訴你答案。

四個模型的橫向對比

在轉向風險話題之前，把這四個模型並排放在一起會有幫助。每一行是一個建模決策，各列展示這個決策的代價與收益。

需要內化的模式是：從第一列到第二列的跳躍——同時引入非對稱性和厚尾——是幾乎所有風險校準改善所在之處。後續的精細化（EGARCH的函數形式、偏度項）確實真實存在，但屬於二階效應，在很多加密資產序列上它們已經落入噪聲範圍之內。把建模精力花在第一次跳躍上，對其餘部分保持懷疑。

風險應用：VaR與預期損失

擬合更復雜的波動率模型只有在能改善某個決策時才有價值。最容易改善的決策就是一步尾部風險預測：明天最壞能壞到什麼程度？我們直接從擬合的GARCH-$t$/偏態-$t$預測中，生成一日前瞻的風險價值（Value-at-Risk）和預期損失（Expected Shortfall，又稱條件VaR，HRP/CVaR投資組合流程將其用作最佳化目標）。

從條件分佈到VaR

GARCH機制給出條件均值$\mu_{t+1}$和條件標準差$\sigma_{t+1}$的一步預測。收益率被建模為$r_{t+1} = \mu_{t+1} + \sigma_{t+1} z_{t+1}$，其中$z_{t+1}$取自擬合的標準化分佈（高斯、$t$或偏態-$t$）。所以收益率的$\alpha$分位數正是標準化分佈的$\alpha$分位數的仿射變換：

$\text{VaR}_{\alpha}(t+1) = -\Bigl(\mu_{t+1} + \sigma_{t+1}\, F_z^{-1}(1-\alpha)\Bigr)$

其中$F_z^{-1}$是標準化新息的分位數（逆累積分佈函數），前面的負號遵循VaR作為正數損失量的約定。對99% VaR而言，$\alpha = 0.99$，代入$F_z^{-1}(0.01)$。$t$/偏態-$t$分佈的全部好處正體現在這裡：$F_z^{-1}(0.01)$比高斯分佈的$-2.326$更負，所以VaR是誠實地更大。

預期損失

VaR只告訴你閾值；它沒有說明一旦突破閾值時情況有多糟。預期損失——即在超過VaR的條件下的平均損失——彌補了這一點，而且它是一致的（次可加性），這正是它成為CVaR最佳化背後的風險度量、也是巴塞爾協議轉向使用它的原因。對於位置-尺度模型，

$\text{ES}_{\alpha}(t+1) = -\Bigl(\mu_{t+1} + \sigma_{t+1}\, \mathbb{E}\!\left[z \mid z \leq F_z^{-1}(1-\alpha)\right]\Bigr).$

條件尾部期望項$\mathbb{E}[z \mid z \le q]$對標準分佈有閉式解。對高斯分佈而言，取$q = \Phi^{-1}(1-\alpha)$，

$\mathbb{E}[z \mid z \le q] = -\frac{\phi(q)}{1-\alpha},$

其中$\phi$是標準正態密度函數。對自由度為$\nu$的標準化Student-$t$分佈，取$q = t_\nu^{-1}(1-\alpha)$（標準化尺度上），尾部期望為

$\mathbb{E}[z \mid z \le q] = -\frac{\nu + q^2}{\nu - 1}\cdot\frac{g_\nu(q)}{1-\alpha},$

其中$g_\nu$是標準化$t$密度函數。$t$分佈的預期損失超出高斯分佈的幅度，比VaR超出的幅度更大，因為$t$分佈的尾部不僅更遠——它還更厚，所以超出閾值之後的平均損失會不成比例地大。這多出來的差距，正是高斯模型悄悄向你隱藏的部分。

從擬合的arch模型計算VaR與ES

arch的分佈物件暴露了ppf（分位數）方法，因此我們可以直接獲取標準化分位數，而無需重新推導任何東西。對於ES我們採用數值積分，這種方式穩健，且在normal/t/skewt之間通用一致。

from scipy import integrate

def var_es_forecast(res, alpha=0.99):
    """
    One-step-ahead VaR and ES at level alpha, on the same (x100) scale
    as the returns fed to the model. Divide by 100 for fractional units.
    """
    fc = res.forecast(horizon=1, reindex=False)
    mu = fc.mean.iloc[-1, 0]
    sigma = np.sqrt(fc.variance.iloc[-1, 0])

    dist = res.model.distribution          # StudentsT / SkewStudent / Normal
    dp = [res.params[k] for k in res.params.index
          if k in ("nu", "eta", "lambda", "lam")]

    z_q = dist.ppf(1 - alpha, dp) if dp else dist.ppf(1 - alpha)
    z_q = float(np.atleast_1d(z_q)[0])

    def pdf(z):
        arr = np.atleast_1d(z).astype(float)
        lp = dist.loglikelihood(dp, arr, np.ones_like(arr), individual=True) \
             if dp else dist.loglikelihood([], arr, np.ones_like(arr),
                                           individual=True)
        return np.exp(lp)

    num, _ = integrate.quad(lambda z: z * pdf(z), -30, z_q, limit=200)
    es_z = num / (1 - alpha)               # E[z | z <= z_q]

    var = -(mu + sigma * z_q)
    es  = -(mu + sigma * es_z)
    return {"mu": mu, "sigma": sigma, "z_q": z_q,
            "VaR": var, "ES": es}

for name in ["GARCH-N", "GJR-t", "GJR-skewt"]:
    out = var_es_forecast(models[name], alpha=0.99)
    print(f"{name:11s}  sigma={out['sigma']:.2f}%  "
          f"z_q={out['z_q']:+.2f}  "
          f"VaR99={out['VaR']:.2f}%  ES99={out['ES']:.2f}%")

z_q這一列就是整個故事的濃縮。高斯模型使用$z_q \approx -2.33$；$\nu \approx 4.3$的$t$分佈使用接近$-3.3$的值；偏態-$t$把左側分位數進一步推遠，同時把右側分位數收窄。相同的$\sigma_{t+1}$，明顯更大的VaR。如果你一直在加密資產上執行高斯VaR，這正是你一直在默默承受的差距。

一步預測與多步預測：一個警示

以上所有內容都是一日前瞻預測，這也是GARCH VaR最乾淨的場景。有兩點會使更長的預測期變得複雜，在你外推之前應當瞭解它們。

第一，方差預測會均值迴歸。平穩GARCH模型的$h$步前瞻條件方差會隨著$h$增大而收斂到無條件水平$\bar\sigma^2$，而累積的$h$日方差是各期預測值之和——除非波動率處於其長期均值，否則它不等於$h\times\sigma_{t+1}^2$。樸素的"時間平方根"縮放$\text{VaR}(h) = \sqrt{h}\,\text{VaR}(1)$忽略了這種均值迴歸，恰恰在衝擊之後——也就是你最需要這個數字的時候——是錯的。應當使用模型自身的多步方差路徑。

第二，多日收益率的分佈形狀與單日新息並不相同。將多個服從$t$分佈的日度衝擊（通過非線性的GARCH遞推式）相加，並不會在$h$日尺度上得到$t$分佈；不存在簡潔的閉式解。對於多日VaR，誠實的做法是模擬：從擬合的標準化分佈中抽取新息路徑，讓它們通過GARCH遞推式生成模擬的收益率路徑，聚合為$h$日收益率，再讀取經驗分位數。這也自然地處理了偏態-$t$的情形——在那種情形下根本不存在解析的多期分位數。本文中的一步解析公式是精確的；應把任何多步的簡化處理視為需要驗證的近似方法。

VaR回測：Kupiec檢驗與Christoffersen檢驗

VaR預測是一個機率性的主張："損失只有$(1-\alpha)$的天數會超過這個閾值。"你需要通過在前向滾動評估中統計突破次數（實際損失超過預測VaR的天數），並檢驗兩件事來驗證它。第一，突破頻率是否正確？第二，突破是否獨立，還是會聚集出現（這意味著模型恰恰在最要緊的波動率飆升時失效）？

設$I_t = \mathbf{1}\{\text{loss}_t > \text{VaR}_t\}$為突破指示序列，$N = \sum I_t$為$T$天內的突破次數，$\hat{\pi} = N/T$為觀測到的頻率。目標頻率$p = 1-\alpha$。

**Kupiec無條件覆蓋檢驗（1995）**通過似然比檢驗$\hat\pi \approx p$：

$LR_{uc} = -2\log\!\left[\frac{p^{N}(1-p)^{T-N}}{\hat\pi^{N}(1-\hat\pi)^{T-N}}\right] \;\sim\; \chi^2_1.$

**Christoffersen獨立性檢驗（1998）**檢驗今天的突破不能被昨天的突破所預測。設$n_{ij}$為突破序列中從狀態$i$到狀態$j$的轉移次數，$\pi_{01} = n_{01}/(n_{00}+n_{01})$，$\pi_{11} = n_{11}/(n_{10}+n_{11})$，$\pi = (n_{01}+n_{11})/T$。則

$LR_{ind} = -2\log\!\left[\frac{(1-\pi)^{n_{00}+n_{10}}\,\pi^{\,n_{01}+n_{11}}}{(1-\pi_{01})^{n_{00}}\pi_{01}^{n_{01}}(1-\pi_{11})^{n_{10}}\pi_{11}^{n_{11}}}\right] \;\sim\; \chi^2_1.$

兩者合併為條件覆蓋檢驗$LR_{cc} = LR_{uc} + LR_{ind} \sim \chi^2_2$，同時檢驗正確的頻率和獨立性。一個模型可能通過了Kupiec檢驗（突破次數正確）卻未通過Christoffersen檢驗（所有突破都扎堆出現在同一個暴跌周）——這正是你最想抓住的失效模式，因為聚集出現的突破正是那些會讓賬戶爆倉的突破。

from scipy.stats import chi2

def var_backtest(losses, var, p):
    """
    losses, var: 1D arrays, same length; loss>0 is a loss, var>0 threshold.
    p = 1 - alpha (target violation rate, e.g. 0.01 for 99% VaR).
    Returns Kupiec, Christoffersen-independence, and conditional-coverage LR.
    """
    losses = np.asarray(losses)
    var = np.asarray(var)
    I = (losses > var).astype(int)          # violation indicators
    T = len(I)
    N = int(I.sum())
    pi_hat = N / T

    eps = 1e-12
    ll_null = N * np.log(p + eps) + (T - N) * np.log(1 - p + eps)
    ll_alt  = N * np.log(pi_hat + eps) + (T - N) * np.log(1 - pi_hat + eps)
    LR_uc = -2 * (ll_null - ll_alt)
    p_uc = 1 - chi2.cdf(LR_uc, df=1)

    n00 = np.sum((I[:-1] == 0) & (I[1:] == 0))
    n01 = np.sum((I[:-1] == 0) & (I[1:] == 1))
    n10 = np.sum((I[:-1] == 1) & (I[1:] == 0))
    n11 = np.sum((I[:-1] == 1) & (I[1:] == 1))
    pi01 = n01 / (n00 + n01) if (n00 + n01) else 0.0
    pi11 = n11 / (n10 + n11) if (n10 + n11) else 0.0
    pi   = (n01 + n11) / (n00 + n01 + n10 + n11)

    def _ll(pi01, pi11, pi_pooled, use_pooled):
        if use_pooled:
            a = (n00 + n10) * np.log(1 - pi_pooled + eps)
            b = (n01 + n11) * np.log(pi_pooled + eps)
            return a + b
        return (n00 * np.log(1 - pi01 + eps) + n01 * np.log(pi01 + eps)
                + n10 * np.log(1 - pi11 + eps) + n11 * np.log(pi11 + eps))

    LR_ind = -2 * (_ll(pi01, pi11, pi, True) - _ll(pi01, pi11, pi, False))
    p_ind = 1 - chi2.cdf(LR_ind, df=1)

    LR_cc = LR_uc + LR_ind
    p_cc = 1 - chi2.cdf(LR_cc, df=2)

    return {
        "T": T, "violations": N,
        "obs_rate": pi_hat, "target_rate": p,
        "LR_uc": LR_uc, "p_uc": p_uc,
        "LR_ind": LR_ind, "p_ind": p_ind,
        "LR_cc": LR_cc, "p_cc": p_cc,
    }

為了誠實地生成losses/var輸入，你需要在擴充視窗或滾動視窗上重新擬合（或至少重新預測），為每個樣本外的日子記錄一步前瞻VaR，然後與該天的實際損失進行比較。絕不要在樣本內回測VaR——在同一次崩盤資料上擬合的模型，在被要求預測這次崩盤時會顯得比實際表現好得多。這與回測-實盤一致性遵循同樣的紀律：評估只能使用決策時刻可獲得的資訊。

def walk_forward_var(returns, alpha=0.99, start=750, refit_every=25,
                     vol="Garch", o=1, dist="t"):
    """
    Expanding-window one-step VaR. Refit every `refit_every` days
    (refitting daily is correct but slow; every ~25 days is a common
    compromise -- validate the shortcut on your data).
    """
    losses, vars_ = [], []
    res = None
    for t in range(start, len(returns)):
        if res is None or (t - start) % refit_every == 0:
            am = arch_model(returns.iloc[:t], mean="Constant",
                            vol=vol, p=1, o=o, q=1, dist=dist)
            res = am.fit(disp="off")
        fc = res.forecast(horizon=1, reindex=False)
        mu = fc.mean.iloc[-1, 0]
        sig = np.sqrt(fc.variance.iloc[-1, 0])
        dp = [res.params[k] for k in res.params.index
              if k in ("nu", "eta", "lambda", "lam")]
        z_q = float(np.atleast_1d(
            res.model.distribution.ppf(1 - alpha, dp) if dp
            else res.model.distribution.ppf(1 - alpha))[0])
        var_t = -(mu + sig * z_q)
        vars_.append(var_t)
        losses.append(-returns.iloc[t])     # realized loss for that day
    return np.array(losses), np.array(vars_)

losses, vars_ = walk_forward_var(r, alpha=0.99, dist="t")
print(var_backtest(losses, vars_, p=0.01))

解讀方式：一個校準良好的99% VaR應顯示接近1%的觀測頻率、不顯著的Kupiec檢驗（較大的p_uc）以及不顯著的Christoffersen檢驗（較大的p_ind）——沒有聚集現象。實踐中，在加密資產上誠實的結果通常是GARCH-Normal未通過Kupiec檢驗（突破次數過多，p_uc極小），而GJR-$t$或EGARCH-$t$通過或接近通過。這一對比正是本文整個論證以假設檢驗形式呈現的結果。如果即便是$t$模型也顯示出聚集的突破（p_ind較小），說明你的波動率動態依然設定錯誤——這往往提示你需要更長的記憶（成分GARCH/FIGARCH）或一個機制層，這與基於HMM的機制檢測相關聯。

按尾部損失而非僅按通過/未通過來排序模型

Kupiec檢驗和Christoffersen檢驗給出的是二元判決——模型被拒絕或未被拒絕。這是必要的，但過於粗糙：兩個模型可能都"通過"，而其中一個明顯更精準。要排序相互競爭的VaR預測，應使用對分位數嚴格一致的損失函數——pinball（分位數）損失：

$L_\tau(r, q) = \bigl(\tau - \mathbf{1}\{r < q\}\bigr)\,(r - q), \qquad \tau = 1-\alpha,$

其中$q$是（帶符號的）VaR分位數，$r$是實際收益率。在樣本外的日子上取平均，更低的平均pinball損失意味著更好校準且更精準的分位數；因為該損失函數對$\tau$分位數是一致的，最小化它不會因模型給出懶惰的寬區間而給予獎勵。要正式比較兩個模型，可將它們逐日的損失差異輸入Diebold-Mariano檢驗。

def pinball_loss(returns, var, alpha=0.99):
    tau = 1 - alpha
    q = -np.asarray(var)               # VaR is a positive loss; quantile is negative
    r = np.asarray(returns)
    hit = (r < q).astype(float)
    return np.mean((tau - hit) * (r - q))

對於預期損失而言，需要特別指出的是ES本身不具備可誘導性（elicitable）（不存在一個損失函數其最小化點恰好是ES本身），這是一個真實存在的理論上的難點：你需要用Fissler-Ziggel評分規則將ES與VaR聯合評估，或者退而求其次，檢查平均突破幅度是否與模型預測的ES相符這一更簡單的做法。一個粗糙但實用的ES檢驗：在VaR被突破的那些天中，比較實際損失的均值與模型預測ES的均值——兩者應當接近。

監管層面採用的是巴塞爾交通燈方法：在250個交易日內，99% VaR出現0-4次突破為"綠燈"（可接受），5-9次為"黃燈"（需加強審查），10次以上為"紅燈"（模型被拒絕，資本乘數上調）。這是Kupiec檢驗的一個更粗糙的表親，但卻是風險委員會實際使用的語言，值得與LR統計量一併報告。

實踐考量

額外參數何時不划算

誠實的預設立場是對複雜度保持懷疑。你新增的每一個參數都是最佳化器可能過擬合的一個旋鈕，而非對稱厚尾GARCH有好幾個這樣的旋鈕。具體的指導原則：

• 流動性差或樣本較短的情況。 只有幾百個日度觀測值時，$\gamma$和$\lambda$的標準誤會很大，你會"檢測到"實際上只是抽樣噪聲的非對稱性。在一個新上線或交易稀薄的山寨幣上，對稱的GARCH-$t$往往是資料能夠支撐的最複雜模型。用200天的資料擬合偏態-$t$的EGARCH是在自欺欺人。
• 偏度項往往回不了本。 在實踐中，從Normal轉向$t$分佈通常是一個顯著且可靠的改善（厚尾是真實且強烈的）。從$t$轉向偏態-$t$往往是邊際的——BIC增益只有1或2分，有時甚至為負。只有在資料明確要求時才新增偏度。
• 在日度資料上，EGARCH與GJR通常沒有明顯高下之分。 它們用不同的函數形式編碼了相同的定性故事。應通過樣本外VaR回測來選擇，而不是看誰的樣本內對數似然更好看。
• 更高的頻率會改變答案。 在小時線或分鐘線上，日內季節性和微觀結構效應占主導地位，普通的日度風格GARCH無論是否引入非對稱性都是設定錯誤的。這是另一個問題，需要不同的工具。

這與沒有穩健優勢時的誠實評估是同一條教訓：一個無法通過樣本外測試的更復雜模型，比它所取代的簡單模型更糟，因為它帶有精確性的假象。把負面結果——"偏度在ETH上沒有幫助"——作為一個真實的發現來報告，並用前向滾動最佳化作為最終裁判，而不是樣本內AIC。

這些是其他一切的基礎邊際分佈

本文中的模型不是終點；它們是聯合風險體系的單變數構建模組。加密資產聯合風險的Copula模型一文恰好使用EGARCH/GJR-$t$作為擬合藤Copula之前的GARCH-EVT邊際分佈——你對每個資產擬合一個非對稱厚尾GARCH，提取標準化殘差，然後才對跨資產依賴關係建模。如果你的邊際分佈是一個對稱的高斯GARCH，無論依賴模型多好，Copula都會繼承其尾部誤差。垃圾邊際分佈，垃圾聯合VaR。

對於多變數波動率問題——隨時間變化的相關性而非各資產的方差——參見第三部分，DCC-GARCH，它在這些單變數擬合結果之上疊加了一個動態相關模型。而對於把波動率預測轉化為倉位規模和交易回測，第四部分：波動率目標化使用了這些模型給出的$\sigma_{t+1}$預測，按預測風險的反比來調整敞口。

一個不依賴分佈假設的替代方案

風險部分的一切都建立在一個參數化假設之上：標準化殘差服從$t$或偏態-$t$分佈。這個假設是可檢驗的，通常也是合理的，但它可能失效。如果你不願意對尾部形態做出任何承諾，保形預測（conformal prediction）提供了具有有限樣本覆蓋保證的、不依賴分佈假設的預測區間——這是一種真正不同的思路，對新息分佈不作任何假設。這兩種方法是互補的：參數化的GARCH-$t$給你一個完整的條件密度（因此能給出ES，而保形區間無法直接提供這一點），而保形方法給你即使密度設定錯誤也依然成立的覆蓋保證。在生產環境中，把兩者一起用作交叉驗證是一種廉價的保險。

數值與工作流衛生

• 將收益率放大100倍。 GARCH最佳化器在百分比收益率上比在原始小數收益率上收斂得可靠得多。如果你以小數單位報告結果，記得把VaR/ES還原縮放。
• 留意持續性。 如果$\alpha + \beta + \tfrac12\gamma$的估計值高於約0.999，模型接近單位根（類似IGARCH）；預測的均值迴歸會非常緩慢，長期方差預測變得不可靠。這不一定是錯誤，但應當標記出來。
• 滾動視窗上的收斂失敗。 EGARCH的對數形式避免了正定性約束，但在病態視窗上仍可能無法收斂。將fit()包裹在try/except中，收斂失敗時回退到上一個視窗的參數，而不是讓實盤迴測崩潰。
• 均值模型。 我們全程使用了常數均值。對於大多數日度加密資料，條件均值接近零，且被波動率所淹沒；除非有充分理由，否則不要把建模精力花在預測均值上。

小結

• 普通GARCH(1,1)有兩個結構性缺陷：它是對稱的（因為衝擊以$\varepsilon^2$的形式進入，對$+x\%$和$-x\%$的反應相同），且它假設高斯新息（低估了加密資產的厚尾）。兩者都會通過過於樂觀的VaR造成真金白銀的損失。
• GJR-GARCH添加了一個閾值項$\gamma\,I(\varepsilon_{t-1}<0)\,\varepsilon_{t-1}^2$。顯著的$\gamma > 0$即槓桿效應：壞訊息比好訊息更能推高波動率。正定性需要$\alpha+\gamma\ge0$；持續性為$\alpha+\beta+\tfrac12\gamma$。
• EGARCH對$\log\sigma_t^2$建模，因此沒有正定性約束，平穩性條件只是$|\beta|<1$。非對稱性通過帶符號項$\gamma z_{t-1}$（在這一約定下槓桿效應對應$\gamma<0$）引入，與幅度項$|z_{t-1}|$分離開。
• 新聞衝擊曲線——下一期方差相對於上一期衝擊的函數——讓非對稱性一目瞭然，並能快速驗證EGARCH的符號約定。
• Student-$t$新息（dist='t'）通過自由度$\nu$（加密資產通常為3-6）修正尾部；Hansen偏態-$t$（dist='skewt'）新增偏度參數$\lambda$以得到更厚的左尾。從Normal轉向$t$分佈通常是顯著可靠的改善；從$t$轉向偏態-$t$往往是邊際改善。
• VaR和ES由擬合的條件分佈匯出：$\text{VaR}_\alpha = -(\mu_{t+1} + \sigma_{t+1}F_z^{-1}(1-\alpha))$，厚尾分位數使風險誠實地大於高斯估計。ES（一致性度量，近似CVaR）刻畫了超過VaR之後的平均損失。
• 用Kupiec檢驗和Christoffersen檢驗回測。 Kupiec檢驗突破頻率；Christoffersen檢驗突破是否未聚集。一個模型可能通過一項而未通過另一項——聚集的突破是最危險的失效模式。回測必須嚴格樣本外進行。
• 紀律勝於複雜度。 只有當非對稱性/偏度同時通過BIC和樣本外VaR回測時才新增它們。在短樣本或流動性差的序列上，更簡單的模型通常勝出。

References:

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