GARCH แบบไม่สมมาตรและหางหนา: EGARCH, GJR และ Student-t

ใน ตอนที่ 1 ของซีรีส์นี้ เราสร้าง GARCH(1,1) ขึ้นมาตั้งแต่พื้นฐาน: สัญชาตญาณเรื่อง volatility clustering, สมการวนซ้ำของ conditional variance, การประมาณค่าด้วย maximum likelihood, การพยากรณ์ และการวินิจฉัยเรซิดวลมาตรฐานด้วยไลบรารี arch หากยังไม่ได้อ่าน ให้เริ่มจากบทความนั้นก่อน — บทความนี้สมมติว่าคุณสามารถ fit และตีความ GARCH(1,1) ธรรมดาได้แล้ว และจะไม่อธิบายพื้นฐานซ้ำ

GARCH(1,1) ธรรมดาเป็น baseline ที่ดี แต่เป็นคำตอบสุดท้ายที่ไม่ดี มันมีข้อบกพร่องเชิงโครงสร้างสองอย่างที่มองข้ามได้ง่ายในการทำ backtest แต่มีราคาแพงเมื่อใช้เงินทุนจริง อย่างแรกคือมัน สมมาตร: โมเดลตอบสนองต่อวันที่ $+5\%$ เหมือนกับวันที่ $-5\%$ ทุกประการ เพราะช็อกเข้าสู่สมการวนซ้ำของ variance ผ่านค่ากำลังสองเท่านั้น คือ $\varepsilon_{t-1}^2$ การยกกำลังสองทำให้เครื่องหมายหายไป อย่างที่สองคือมันสมมติว่ามี Gaussian innovations: แม้หลังจาก GARCH ดูดซับ volatility clustering ไปแล้ว standardized residuals ของ BTC และ ETH ก็ยังแสดงหางหนาให้เห็นชัดเจน และ likelihood แบบเกาส์เซียนตีราคาหางต่ำกว่าความเป็นจริงอย่างเป็นระบบ VaR 99% แบบ GARCH(1,1)-Normal จะถูกทะลุบ่อยกว่า 1% ของเวลามาก

บทความนี้แก้ไขข้อบกพร่องทั้งสองอย่าง เราจะเพิ่ม ความไม่สมมาตร ด้วย GJR-GARCH และ EGARCH และเพิ่ม หางหนา ด้วย innovations แบบ Student-$t$ และ skewed-$t$ ของ Hansen จากนั้นเราจะทำสิ่งที่จ่ายค่าเช่าได้จริง: แปลง conditional distribution ที่ fit แล้วให้เป็นการพยากรณ์ Value-at-Risk และ Expected Shortfall แบบ one-step และทำการ backtest การพยากรณ์นั้นอย่างตรงไปตรงมาด้วย Kupiec test และ Christoffersen test โมเดล volatility ที่ไม่เคยผ่านการทดสอบความเสี่ยงก็เป็นแค่ของประดับ

Leverage Effect และเหตุผลที่คริปโตยุ่งเหยิงกว่า

ในตลาดหุ้น ความไม่สมมาตรนี้มีชื่อและมีเรื่องราวของมัน leverage effect (Black, 1976): เมื่อราคาหุ้นของบริษัทตก อัตราส่วนหนี้สินต่อทุนจะเพิ่มขึ้น ทำให้ equity มีความเสี่ยงสูงขึ้นเชิงกลไก และ volatility ก็เพิ่มขึ้นตาม ข่าวร้ายทำให้ volatility ในอนาคตเพิ่มขึ้นมากกว่าข่าวดีขนาดเท่ากัน ในเชิงประจักษ์นี่คือหนึ่งใน stylized facts ที่แข็งแกร่งที่สุดในวรรณกรรมเรื่อง volatility ของตลาดหุ้น

คริปโตไม่มี equity และไม่มี leverage ในงบดุลแบบบริษัท แต่ความไม่สมมาตรคล้าย leverage effect ก็ยังปรากฏให้เห็นในส่วนใหญ่ — ขับเคลื่อนโดยการ deleverage แบบบังคับมากกว่าเรื่องบัญชี เมื่อ BTC ร่วงแรง สินเชื่อที่ over-collateralized จะถูก liquidate โพซิชัน long ของ perpetual futures ถูกบังคับปิด funding พลิกกลับ และปรากฏการณ์ลูกโซ่นี้ก็ป้อน volatility เข้าไปอีก ดังนั้นกลไกจึงต่างกัน แต่เครื่องหมายมักจะสอดคล้องกับตลาดหุ้น: การเคลื่อนไหวขาลงมักทำให้ volatility พุ่งมากกว่า

ข้อควรระวังที่สำคัญ: คริปโต ยุ่งเหยิงกว่า และคุณควรมองความไม่สมมาตรเป็นคำถามเชิงประจักษ์มากกว่ากฎตายตัว การเคลื่อนไหว ขาขึ้น ที่รุนแรง — short squeeze, การพุ่งขึ้นจาก leverage, ช่องว่างราคาจากการอนุมัติ ETF — ก็สามารถทำให้ realized volatility พุ่งได้เช่นกัน ขึ้นอยู่กับสินทรัพย์และช่วงเวลาตัวอย่าง ความไม่สมมาตรที่ประมาณได้อาจแข็งแกร่ง อ่อนแอ หรือบางครั้งมีเครื่องหมาย "ผิด" ก็ได้ วินัยที่บทความนี้ยืนกรานคือ: fit โมเดลไม่สมมาตร ดูว่าพารามิเตอร์ความไม่สมมาตรมีนัยสำคัญทางสถิติและมีทิศทางตามที่คาดหรือไม่ และเก็บพารามิเตอร์เพิ่มนั้นไว้ก็ต่อเมื่อมันคุ้มค่าจริงเท่านั้น อย่าสมมติว่าเรื่องราวจากตลาดหุ้นจะถ่ายโอนมาได้เอง ต้องทดสอบ

ทดสอบความไม่สมมาตรก่อนสร้างโมเดล

ข้อสรุปข้างต้นบอกว่า "มองความไม่สมมาตรเป็นเรื่องเชิงประจักษ์" — ดังนั้นก่อน fit โมเดลไม่สมมาตร ควรรันการทดสอบเชิงรูปนัยที่ต้นทุนต่ำเพื่อดูว่ามีความไม่สมมาตรอยู่จริงหรือไม่ Engle-Ng sign-bias tests (1993) ทำสิ่งนี้ได้พอดี ให้ fit GARCH(1,1) แบบสมมาตรก่อน นำ squared standardized residuals $z_t^2$ มา regress กับตัวบ่งชี้เครื่องหมายและขนาดของช็อกก่อนหน้า:

$z_t^2 = a_0 + a_1 S_{t-1}^- + a_2 S_{t-1}^- \varepsilon_{t-1} + a_3 S_{t-1}^+ \varepsilon_{t-1} + u_t$

โดยที่ $S_{t-1}^- = \mathbf{1}\{\varepsilon_{t-1} < 0\}$ และ $S_{t-1}^+ = 1 - S_{t-1}^-$ ตรรกะคือ: ถ้าโมเดลสมมาตรจับทุกอย่างได้หมดแล้ว เครื่องหมายและขนาดของช็อกเมื่อวานไม่ควรทำนาย squared residual ของวันนี้ได้ ดังนั้น $a_1 = a_2 = a_3 = 0$ การทดสอบ $t$ แบบรายตัวคือ sign-bias ($a_1$), negative-size-bias ($a_2$) และ positive-size-bias ($a_3$) ส่วนการทดสอบ $F$ ร่วมกันทั้งสามตัวคือ omnibus test ค่า $a_1$ หรือ $a_2$ ที่มีนัยสำคัญบ่งบอกว่าช็อกเชิงลบถูกโมเดลสมมาตรตีราคาผิดอย่างเป็นระบบ — เป็นสัญญาณว่า GJR หรือ EGARCH จะช่วยได้

import statsmodels.api as sm

def sign_bias_test(symmetric_res):
    """Engle-Ng sign-bias tests on a fitted symmetric GARCH result."""
    z = symmetric_res.std_resid.dropna()
    z2 = (z ** 2).values[1:]
    eps_lag = z.values[:-1]                      # standardized shock proxy
    neg = (eps_lag < 0).astype(float)
    X = np.column_stack([
        np.ones_like(eps_lag),                   # intercept
        neg,                                     # sign bias
        neg * eps_lag,                           # negative size bias
        (1 - neg) * eps_lag,                     # positive size bias
    ])
    ols = sm.OLS(z2, X).fit()
    names = ["const", "sign_bias", "neg_size_bias", "pos_size_bias"]
    for nm, coef, t, p in zip(names, ols.params, ols.tvalues, ols.pvalues):
        print(f"{nm:16s} coef={coef:+.4f}  t={t:+.2f}  p={p:.3f}")
    print(f"Joint F p-value: {ols.f_pvalue:.4f}")
    return ols

sign_bias_test(models["GARCH-N"])

ถ้าการทดสอบ $F$ ร่วมไม่มีนัยสำคัญ คุณมีสิทธิ์เชิงประจักษ์ที่จะคงความสมมาตรไว้และประหยัดพารามิเตอร์สองตัว แต่ถ้ามีนัยสำคัญ — ซึ่งเป็นผลลัพธ์ทั่วไปสำหรับ BTC/ETH — ก็ไปต่อที่ GJR/EGARCH ได้อย่างสบายใจ เพราะรู้ว่ากำลังโมเดลคุณลักษณะที่มีอยู่จริง ไม่ใช่ไล่ตาม noise นี่คือวินัยเชิงประจักษ์ที่กล่าวไว้ข้างต้น: อย่าสมมติเรื่องราว leverage จากตลาดหุ้น ต้องทดสอบมัน

GJR-GARCH: ความไม่สมมาตรผ่านเทอมเกณฑ์ขีดแบ่ง (Threshold)

โมเดล Glosten-Jagannathan-Runkle (1993) — บางครั้งเรียก TGARCH หรือ threshold GARCH — เป็นการปรับแก้ที่เล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้จาก GARCH(1,1) ที่ทำให้ข่าวร้ายและข่าวดีมีผลต่างกัน ทบทวนสมการวนซ้ำของ conditional variance แบบสมมาตรจากตอนที่ 1:

$\sigma_t^2 = \omega + \alpha\,\varepsilon_{t-1}^2 + \beta\,\sigma_{t-1}^2$

GJR เพิ่มเทอมเกณฑ์ขีดแบ่งหนึ่งตัว: variance ส่วนเพิ่มที่เปิดใช้งานเฉพาะหลังช็อกเชิงลบ

$\sigma_t^2 = \omega + \alpha\,\varepsilon_{t-1}^2 + \gamma\,I_{t-1}\,\varepsilon_{t-1}^2 + \beta\,\sigma_{t-1}^2$

โดยที่ $I_{t-1}$ คือตัวบ่งชี้

$I_{t-1} = \begin{cases} 1 & \text{if } \varepsilon_{t-1} < 0 \\ 0 & \text{if } \varepsilon_{t-1} \geq 0 \end{cases}$

อ่านสมการวนซ้ำนี้ตามกรณี หลังจากช็อก บวก ($\varepsilon_{t-1} \geq 0$) ตัวบ่งชี้เป็นศูนย์ ผลกระทบของ squared shock ต่อ variance งวดถัดไปจึงเป็นแค่ $\alpha$ หลังจากช็อก ลบ ตัวบ่งชี้เป็นหนึ่ง และผลกระทบคือ $\alpha + \gamma$ พารามิเตอร์ $\gamma$ คือเรื่องราวความไม่สมมาตรทั้งหมดในตัวเลขเดียว:

• $\gamma > 0$: ช็อกเชิงลบทำให้ volatility เพิ่มขึ้นมากกว่าช็อกเชิงบวกที่ขนาดเท่ากัน นี่คือ leverage effect และเป็นสิ่งที่คุณคาดว่าจะพบใน BTC/ETH ในส่วนใหญ่
• $\gamma = 0$: โมเดลยุบกลับเป็น GARCH(1,1) แบบสมมาตร การทดสอบ likelihood-ratio หรือ $t$-test บน $\gamma$ จึงเป็นการทดสอบโดยตรงว่า ความไม่สมมาตรมีอยู่จริงหรือไม่
• $\gamma < 0$: ช็อกเชิงบวกทำให้ volatility เพิ่มขึ้นมากกว่า — ภาวะ melt-up ของคริปโตที่เกิดขึ้นเป็นครั้งคราว หายาก แต่อย่าตัดทิ้งไปก่อนล่วงหน้า

เงื่อนไขความไม่ติดลบและ Stationarity

เนื่องจาก $\sigma_t^2$ ยังคงถูกสร้างแบบบวกรวมกัน เราจึงต้องให้แต่ละเทอมไม่ติดลบ เงื่อนไขความไม่ติดลบที่เพียงพอคือ

$\omega > 0, \quad \alpha \geq 0, \quad \alpha + \gamma \geq 0, \quad \beta \geq 0.$

สังเกตว่า $\gamma$ เองสามารถติดลบได้ตราบใดที่ $\alpha + \gamma \geq 0$ ดังนั้นผลกระทบหลังข่าวร้ายจะไม่มีวันติดลบ

สำหรับ covariance stationarity ให้สมมติว่า innovations $z_t = \varepsilon_t/\sigma_t$ ถูกทำให้เป็นมาตรฐานด้วยการแจกแจงแบบสมมาตรรอบศูนย์ ดังนั้น $P(\varepsilon_{t-1} < 0) = 1/2$ และตัวบ่งชี้มีส่วนสนับสนุนเฉลี่ยเท่ากับ $\gamma/2$ เงื่อนไข stationarity จึงกลายเป็น

$\alpha + \beta + \tfrac{1}{2}\gamma < 1.$

variance ระยะยาว (unconditional) คือ

$\bar{\sigma}^2 = \frac{\omega}{1 - \alpha - \beta - \tfrac{1}{2}\gamma}.$

นี่คือรูปแบบ GJR ที่เทียบเท่ากับผลลัพธ์ในตอนที่ 1 คือ $\bar{\sigma}^2 = \omega/(1-\alpha-\beta)$ โดยมีเทอม $\tfrac{1}{2}\gamma$ เพิ่มเข้ามาเพื่ออธิบายส่วนสนับสนุนเฉลี่ยของ leverage half-life ถ้าการแจกแจงของ innovation มีความเบ้ (skew-$t$ ของ Hansen ด้านล่าง) ค่า $1/2$ จะถูกแทนที่ด้วยความน่าจะเป็นจริงที่ $z_t < 0$ แต่ $1/2$ เป็นค่าอ้างอิงมาตรฐานที่ใช้รายงาน persistence

EGARCH: โมเดล log-Variance ไม่มีข้อจำกัดเรื่องความไม่ติดลบ

GJR ยังคงบังคับให้คุณอยู่ในกรอบข้อจำกัดความไม่ติดลบของ variance: ทุกชุดค่าพารามิเตอร์ต้องถูกตรวจสอบกับ inequality constraints ซึ่งน่ารำคาญระหว่างการ optimize และแย่กว่านั้นระหว่างการ re-estimate แบบ rolling เมื่อ window บางครั้งหลุดเข้าไปในพื้นที่ที่ไม่เป็นไปได้ Exponential GARCH ของ Nelson (1991) หลีกเลี่ยงปัญหานี้ทั้งหมดด้วยการโมเดล ลอการิทึม ของ conditional variance เนื่องจาก $\log \sigma_t^2$ เป็นจำนวนจริงใดก็ได้ ค่า $\sigma_t^2 = \exp(\log \sigma_t^2)$ จึงเป็นบวกโดยอัตโนมัติไม่ว่าพารามิเตอร์จะเป็นอย่างไร ไม่มีข้อจำกัดที่ต้องกำหนด

เขียนสมการวนซ้ำในรูปของ standardized innovation $z_{t-1} = \varepsilon_{t-1}/\sigma_{t-1}$:

$\log \sigma_t^2 = \omega + \beta \log \sigma_{t-1}^2 + \alpha\bigl(|z_{t-1}| - \mathbb{E}|z_{t-1}|\bigr) + \gamma\, z_{t-1}$

มีสองเทอมที่รับผิดชอบเรื่องช็อก และการแยกทั้งสองนี้คือแนวคิดหลัก:

• เทอม ขนาด $\alpha(|z_{t-1}| - \mathbb{E}|z_{t-1}|)$ ตอบสนองต่อ ขนาด ของช็อก โดยตัดเครื่องหมายทิ้ง การลบ $\mathbb{E}|z_{t-1}|$ ออกทำให้เทอมนี้อยู่ตรงกลาง ดังนั้นช็อกที่มีขนาดเฉลี่ยจะไม่มีส่วนสนับสนุนเลย สำหรับการแจกแจงปกติมาตรฐาน $\mathbb{E}|z| = \sqrt{2/\pi} \approx 0.7979$; สำหรับ standardized Student-$t$ ค่าคาดหวังของค่าสัมบูรณ์จะเล็กกว่าและขึ้นกับ $\nu$ แต่ arch จัดการเรื่องนี้ให้ภายในตัว
• เทอม เครื่องหมาย $\gamma\, z_{t-1}$ คือความไม่สมมาตร มันเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของ signed innovation ดังนั้น $z_{t-1}$ ที่เป็นลบจะผลัก $\log\sigma_t^2$ ไปในทิศทางตรงข้ามกับที่เป็นบวก

ข้อตกลงเรื่องเครื่องหมายสำคัญมากและทำให้คนสับสนได้ง่าย ใน parameterization นี้ leverage effect (ข่าวร้ายเพิ่ม volatility) สอดคล้องกับ $\gamma < 0$: ช็อกเชิงลบ $z_{t-1} < 0$ จะทำให้ $\gamma z_{t-1} > 0$ ซึ่งเพิ่ม log-variance นี่เป็นเครื่องหมายตรงข้ามกับ $\gamma > 0$ ของ GJR ต้องอ่านเอกสารของโมเดลเองเพื่อดูข้อตกลงเสมอ อย่าสมมติเอาเอง arch รายงาน EGARCH ตามเครื่องหมายของตัวมันเอง และเราจะตรวจสอบมันกับ news impact curve ด้านล่างแทนที่จะเชื่อความจำของเรา

เนื่องจากทุกอย่างเป็นการบวกรวมกันในสเกล log persistence ของ EGARCH(1,1) จึงถูกกำหนดโดยสัมประสิทธิ์ autoregressive ตัวเดียวคือ $\beta$ บน $\log\sigma_{t-1}^2$; stationarity ต้องการเพียง $|\beta| < 1$ นี่เป็นเงื่อนไขที่สะอาดกว่า inequality ของ GJR มาก และเป็นข้อได้เปรียบเชิงปฏิบัติจริงเมื่อคุณ refit บน rolling windows

ข้อสังเกตที่ควรกล่าวถึง: การตอบสนองต่อช็อกของ EGARCH เป็นแบบ เอกซ์โพเนนเชียล ในตัวแปร innovation (คุณ exponentiate ในขั้นตอนสุดท้าย) ในขณะที่ GJR เป็นแบบกำลังสอง EGARCH จึงตอบสนองต่อช็อกขนาดใหญ่รุนแรงกว่า — เป็นข้อดีในคริปโตที่เหตุการณ์หางคือสิ่งที่สำคัญ แต่ก็เป็นเหตุผลที่ EGARCH บางครั้งอาจให้การพยากรณ์ variance ที่ใหญ่เกินจริงหลังวันที่มี outlier ไม่มีโมเดลไหนดีกว่าอีกอันเสมอไป คุณต้องเลือกโดยดูจาก out-of-sample fit และ risk backtest ซึ่งเป็นประเด็นหลักของซีรีส์นี้ทั้งหมด

News Impact Curve

วิธีที่ชัดเจนที่สุดในการ เห็น ความแตกต่างระหว่าง GARCH สมมาตร, GJR และ EGARCH คือ news impact curve (Engle and Ng, 1993): ตรึง $\sigma_{t-1}$ ไว้ที่ระดับระยะยาว แล้ว plot conditional variance งวดถัดไป $\sigma_t^2$ เป็นฟังก์ชันของช็อกล่าสุด $\varepsilon_{t-1}$ มันตอบคำถามว่า "เมื่อได้รับช็อกขนาดและเครื่องหมายแบบนี้ โมเดลจะเพิ่ม volatility ของวันพรุ่งนี้มากแค่ไหน"

• GARCH สมมาตร ให้ พาราโบลาสมมาตร ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ศูนย์ ช็อก $-5\%$ และ $+5\%$ ตกอยู่ที่ความสูงเดียวกัน นี่คือข้อบกพร่องที่เรากำลังแก้ไขพอดี
• GJR ให้ พาราโบลาที่มีจุดหักที่ศูนย์ — ชันกว่าทางด้านซ้าย (ช็อกเชิงลบ) มากกว่าทางขวาเมื่อ $\gamma > 0$ ครึ่งสองข้างมีความโค้งเป็น $\alpha+\gamma$ และ $\alpha$ ตามลำดับ
• EGARCH ให้ รูปตัว V แบบไม่สมมาตรและเอกซ์โพเนนเชียล: สองแขนมีความชันต่างกันเพราะเทอม $\gamma z$ และทั้งหมดโค้งขึ้นเร็วกว่าพาราโบลาเพราะการ exponentiate ในขั้นสุดท้าย

เราจะ plot ทั้งสามแบบจากพารามิเตอร์ที่ fit แล้วในภายหลัง ในส่วนการทำงานจริง — เป็นการวินิจฉัยที่มีประโยชน์ที่สุดในการสื่อสารว่าความไม่สมมาตรให้อะไรกับคุณ

หางหนา: Innovations แบบ Student-t และ Skewed-t

ความไม่สมมาตรแก้ปัญหาการตอบสนองของโมเดลต่อ เครื่องหมาย ของช็อก แต่ไม่ได้แก้อะไรเกี่ยวกับ การแจกแจง ของช็อกเอง GARCH ธรรมดาสมมติว่า $z_t \sim \mathcal{N}(0,1)$ และสมมติฐานนั้นแทบจะผิดเสมอสำหรับคริปโต แม้หลังจาก GARCH ขจัด volatility clustering ออกไปแล้ว standardized residuals $z_t = \varepsilon_t / \sigma_t$ ก็ยังคงมี excess kurtosis เหลืออยู่ — มันเป็นหางหนา likelihood แบบเกาส์เซียนซึ่ง fit ตรงไหล่ของการแจกแจง จะประเมินความถี่ของวันที่มีค่า standardized สูงถึง $4$, $5$ หรือ $6$ sigma ต่ำกว่าความเป็นจริง

ผลกระทบต่อความเสี่ยงเป็นเรื่องตรงไปตรงมา VaR 99% แบบเกาส์เซียนใช้ควอนไทล์ $\Phi^{-1}(0.01) \approx -2.326$ จึงพยากรณ์ $\text{VaR}_{0.99} \approx 2.326\,\sigma_t$ ถ้าการแจกแจง standardized ที่แท้จริงเป็น Student-$t$ ที่มี $\nu = 5$ องศาอิสระ ควอนไทล์ 1% ที่แท้จริงจะอยู่ใกล้ $-3.36$ — VaR แบบเกาส์เซียนมองโลกในแง่ดีเกินไปประมาณ $44\%$ ที่ระดับความเชื่อมั่นนั้น คุณจะถูกทะลุบ่อยกว่า 1% ของเวลามาก และจะประหลาดใจอย่างเป็นระบบกับวันที่ "เป็นไปไม่ได้" นี่ไม่ใช่ความแปลกประหลาดเฉพาะของคริปโต Bollerslev (1987) นำเสนอ $t$-GARCH ก็เพราะเรซิดวลของหุ้นและ FX แสดงหางหนาแบบเดียวกัน คริปโตเป็นเพียงเวอร์ชันที่รุนแรงกว่าของปัญหาเดียวกัน

Standardized Student-t

การแจกแจง Student-$t$ มีพารามิเตอร์องศาอิสระ $\nu > 2$ ที่ควบคุมความหนาของหาง: $\nu$ เล็กหมายถึงหางหนา และเมื่อ $\nu \to \infty$ การแจกแจง $t$ จะลู่เข้าสู่เกาส์เซียน ปัญหาคือการแจกแจง $t_\nu$ ดิบมี variance เท่ากับ $\nu/(\nu-2) \neq 1$ ดังนั้นเราต้อง ทำให้เป็นมาตรฐาน (standardize) ให้มี unit variance ก่อนนำไปใช้เป็น innovation — ไม่เช่นนั้น "$\sigma_t$" ในสมการวนซ้ำของ GARCH จะไม่ใช่ conditional standard deviation จริงๆ

ความหนาแน่นของ standardized Student-$t$ innovation ที่มี unit variance คือ

$f(z;\nu) = \frac{\Gamma\!\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\pi(\nu-2)}\;\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}\left(1 + \frac{z^2}{\nu-2}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}, \qquad \nu > 2.$

สังเกตค่า $(\nu-2)$ ด้านใน — นั่นคือการ standardize ที่ปรับสเกลให้ $\mathrm{Var}(z)=1$ ส่วนสนับสนุนต่อ log-likelihood ของการสังเกตหนึ่งตัว เมื่อกำหนด conditional variance ของ GARCH คือ $\sigma_t^2$ และ $z_t = \varepsilon_t/\sigma_t$ คือ

$\ell_t = \log\Gamma\!\left(\tfrac{\nu+1}{2}\right) - \log\Gamma\!\left(\tfrac{\nu}{2}\right) - \tfrac{1}{2}\log\bigl(\pi(\nu-2)\bigr) - \tfrac{1}{2}\log\sigma_t^2 - \frac{\nu+1}{2}\log\!\left(1 + \frac{z_t^2}{\nu-2}\right).$

เทอม $-\tfrac{1}{2}\log\sigma_t^2$ คือ Jacobian ของการแปลงจาก $\varepsilon_t$ เป็น $z_t$ — เทอมเดียวกับที่คุณเห็นใน Gaussian GARCH likelihood ในตอนที่ 1 มีเพียงรูปทรงเท่านั้นที่เปลี่ยน การ maximize $\sum_t \ell_t$ พร้อมกันทั้งพารามิเตอร์ GARCH และ $\nu$ คือสิ่งที่ arch ทำเมื่อคุณส่ง dist='t'

ค่า $\nu$ ที่ประมาณได้ให้ข้อมูลในตัวมันเอง สำหรับผลตอบแทนรายวันของ BTC/ETH โดยทั่วไปจะได้ค่าอยู่ในช่วง $\nu \approx 3\text{–}6$ — หางหนา แต่ยังมี variance จำกัด (ต้องการ $\nu > 2$) และมักมี kurtosis จำกัด (ต้องการ $\nu > 4$) ถ้า $\nu$ ที่ fit ได้ต่ำกว่า 4 พึงระวังว่า sample kurtosis จะไม่จำกัดในทางเทคนิคภายในโมเดล และตัวประมาณค่าบางตัวอาจไม่เสถียร เป็นสัญญาณให้ตรวจสอบ outlier และคุณภาพข้อมูลอย่างจริงจัง

Skewed-t ของ Hansen

Student-$t$ เป็นหางหนาแต่ยัง สมมาตร — หางซ้ายและขวาหนาเท่ากัน เรซิดวลผลตอบแทนของคริปโตมักจะ เบ้ ด้วยเช่นกัน: หางซ้าย (การล่ม) หนากว่าหางขวา skewed-$t$ ของ Hansen (1994) ขยายความจาก standardized $t$ ด้วยพารามิเตอร์ความเบ้ $\lambda \in (-1, 1)$ ควบคู่กับ $\nu$:

$f(z;\nu,\lambda) = \begin{cases} b\,c\left(1 + \dfrac{1}{\nu-2}\left(\dfrac{bz+a}{1-\lambda}\right)^2\right)^{-\frac{\nu+1}{2}} & z < -a/b \\[2mm] b\,c\left(1 + \dfrac{1}{\nu-2}\left(\dfrac{bz+a}{1+\lambda}\right)^2\right)^{-\frac{\nu+1}{2}} & z \geq -a/b \end{cases}$

โดยที่ค่าคงที่ $a = 4\lambda c\,\frac{\nu-2}{\nu-1}$, $b^2 = 1 + 3\lambda^2 - a^2$ และ $c = \frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}{\sqrt{\pi(\nu-2)}\,\Gamma(\frac{\nu}{2})}$ ถูกเลือกให้ $z$ มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และ unit variance สำหรับทุกคู่ $(\nu,\lambda)$ ที่ถูกต้อง การแจกแจงนี้แยกที่ $z = -a/b$ โดยใช้สเกลต่างกันในแต่ละส่วนเพื่อดันมวลความน่าจะเป็นเข้าหาหางข้างใดข้างหนึ่งมากขึ้น

การตีความ: $\lambda < 0$ ให้การแจกแจงเบ้ซ้าย (ขาลงหนักกว่า) ซึ่งเป็นผลลัพธ์ปกติสำหรับคริปโตและเป็นสิ่งที่คาดว่าจะจับคู่กับ leverage effect $\lambda = 0$ คือการกลับไปเป็น Student-$t$ แบบสมมาตร ดังนั้นการทดสอบ $\lambda = 0$ บอกว่าเทอมความเบ้กำลังให้ผลอะไรหรือไม่ ใน arch นี้คือ dist='skewt' ซึ่งประมาณค่าทั้ง $\nu$ และ $\lambda$ ผลตอบแทนคือ VaR ที่ควอนไทล์หางซ้ายหนักกว่าหางขวาอย่างตรงความเป็นจริง — พอดีกับสิ่งที่คุณต้องการเมื่อความสูญเสียที่คุณพยายามรอดพ้นเป็นแบบไม่สมมาตร เรื่องนี้เชื่อมโยงโดยตรงกับ ความไม่สมมาตรของความสูญเสียเทียบกับกำไร ในผลลัพธ์ของโพซิชัน: การขาดทุน $x\%$ ต้องการมากกว่า $x\%$ ในการฟื้นตัว ดังนั้นการโมเดลหางซ้ายผิดพลาดจึงมีต้นทุนสูงกว่าการโมเดลหางขวาผิดพลาด

การทำงานจริงด้วย Python

ตอนนี้เราจะ fit ทั้งหมดนี้ด้วยไลบรารี arch การตั้งค่าสะท้อนตอนที่ 1: ดึงผลตอบแทนรายวัน สเกลด้วย 100 เพื่อความเสถียรเชิงตัวเลข (ตัว optimizer ของ GARCH ทำงานได้แย่เมื่อผลตอบแทนอยู่ในระดับ $O(0.01)$) และ fit ด้วย constant mean ถ้าต้องการข้อมูลรายชั่วโมงหรือ mean model แบบอื่น กลไกก็เหมือนกันทุกประการ

การตั้งค่าและข้อมูล

import numpy as np
import pandas as pd
from arch import arch_model
from arch.univariate import GARCH, EGARCH, ConstantMean, StudentsT, SkewStudent
from scipy import stats

def fetch_returns(symbol="BTC-USD", start="2019-01-01", end="2025-12-31"):
    """Daily log returns, in percent (scaled x100 for the optimizer)."""
    import yfinance as yf
    px = yf.download(symbol, start=start, end=end)["Close"].dropna()
    ret = 100.0 * np.log(px / px.shift(1)).dropna()
    ret.name = symbol
    return ret

r = fetch_returns("BTC-USD")
print(f"{len(r)} daily observations, "
      f"annualized vol ~ {r.std() * np.sqrt(365):.0f}%")

คริปโตเทรด 24/7 ดังนั้นเราจึง annualize ด้วย 365 ไม่ใช่ 252 — แหล่งความสับสนเล็กๆ แต่เกิดขึ้นซ้ำๆ เมื่อคุณเทียบ Sharpe หรือ vol ของคริปโตกับตัวเลขของฝั่งหุ้น

การ Fit สี่โมเดล

รูปแบบใน arch: vol='Garch' พร้อม p=1, q=1 คือ GARCH สมมาตร; การเพิ่ม o=1 เปิดใช้เทอมเกณฑ์ขีดแบ่งของ GJR; vol='EGARCH' สลับไปใช้โมเดล log-variance การแจกแจงของ innovation กำหนดด้วย dist: 'normal', 't', 'skewt'

def fit(returns, vol="Garch", p=1, o=0, q=1, dist="normal"):
    am = arch_model(returns, mean="Constant",
                    vol=vol, p=p, o=o, q=q, dist=dist)
    res = am.fit(disp="off")
    return res

models = {
    "GARCH-N":    fit(r, vol="Garch",  o=0, dist="normal"),  # Part 1 baseline
    "GJR-t":      fit(r, vol="Garch",  o=1, dist="t"),        # asymmetry + fat tails
    "EGARCH-t":   fit(r, vol="EGARCH", o=1, dist="t"),        # log-variance asymmetry
    "GJR-skewt":  fit(r, vol="Garch",  o=1, dist="skewt"),    # + skew
}

for name, res in models.items():
    print(f"\n===== {name} =====")
    print(res.summary().tables[1])   # parameter table

สำหรับ vol='EGARCH' อาร์กิวเมนต์ o ควบคุมเทอมความไม่สมมาตร ($\gamma z$) และ p/q ควบคุมเทอมขนาดและ lag; o=1, p=1, q=1 คือ EGARCH(1,1) มาตรฐาน ข้อควรระวังหนึ่งอย่าง: ชื่อพารามิเตอร์ของ EGARCH ใน arch ใช้ตัวอักษรเดียวกัน แต่ ข้อตกลงเรื่องเครื่องหมาย บนเทอมความไม่สมมาตรเป็นของ Nelson ดังนั้นค่าประมาณที่เป็นลบคือ leverage effect เราตรวจสอบสิ่งนี้จาก news impact curve แทนที่จะอาศัยความจำ

การอ่านผล Fit ของ GJR

ตารางพารามิเตอร์ของ GJR-$t$ มีลักษณะประมาณนี้ (ค่าตัวอย่างเพื่ออธิบาย ไม่ใช่การทดลองที่รายงานจริง — ให้ refit บนข้อมูลของคุณเอง):

                  coef    std err       t      P>|t|
omega           0.0480     0.017     2.82     0.005
alpha[1]        0.0620     0.018     3.44     0.001
gamma[1]        0.0910     0.028     3.25     0.001
beta[1]         0.8850     0.021    42.1      0.000
nu              4.30       0.55      7.82     0.000

วิธีอ่าน:

• gamma[1] = 0.091 ที่มีค่า $t$-stat เกิน 3 คือ leverage effect ที่มีนัยสำคัญทางสถิติ หลังช็อกเชิงลบ ผลกระทบของ squared-shock คือ $\alpha + \gamma = 0.062 + 0.091 = 0.153$; หลังช็อกเชิงบวกคือแค่ $\alpha = 0.062$ ข่าวร้ายขยับ volatility ของโมเดลนี้ประมาณ $2.5\times$ มากกว่าข่าวดีที่ขนาดเท่ากัน
• nu = 4.3 ยืนยันหางหนา — ห่างไกลจากเกาส์เซียน ($\nu \to \infty$) และต่ำพอที่ moment ลำดับที่สี่แทบจะไม่จำกัด VaR แบบเกาส์เซียนบนอนุกรมนี้จะมองโลกในแง่ดีเกินจริงอย่างมาก
• Persistence คือ $\alpha + \beta + \tfrac{1}{2}\gamma = 0.062 + 0.885 + 0.0455 \approx 0.993$ — สูงมาก ตามปกติของคริปโตรายวัน: ช็อกสลายตัวช้าและ volatility รวมกลุ่มอย่างเข้มข้น

บรรทัดที่สำคัญที่สุดที่ต้องตรวจสอบคือแถว $\gamma$ ถ้า $p$-value ของมันมีค่าสูง เทอมความไม่สมมาตรก็ยังไม่คุ้มค่าที่จะอยู่ในโมเดลบนสินทรัพย์และช่วงเวลานี้ และคุณควรเลือกโมเดลสมมาตรที่ง่ายกว่า นี่คือวินัยในการเลือกโมเดล ไม่ใช่ของประดับ — จะกล่าวถึงเพิ่มเติมด้านล่าง

การเปรียบเทียบโมเดลด้วย Information Criteria

Log-likelihood จะดีขึ้นเสมอเมื่อคุณเพิ่มพารามิเตอร์ ดังนั้นคุณไม่สามารถเลือกโดยดูจาก log-likelihood อย่างเดียวได้ ให้ใช้ AIC/BIC ซึ่งลงโทษจำนวนพารามิเตอร์ (BIC ลงโทษหนักกว่า):

def compare(models: dict) -> pd.DataFrame:
    rows = []
    for name, res in models.items():
        rows.append({
            "model": name,
            "n_params": len(res.params),
            "loglik": res.loglikelihood,
            "AIC": res.aic,
            "BIC": res.bic,
        })
    df = pd.DataFrame(rows).set_index("model")
    return df.sort_values("BIC")

print(compare(models))

หลักการตีความคร่าวๆ: การปรับปรุง BIC มากกว่าประมาณ 6 เทียบกับ baseline คือหลักฐานหนักแน่นว่าโครงสร้างเพิ่มเติมนั้นเป็นของจริง ส่วนความต่าง 1-2 คือ noise ถ้า GJR-t ดีกว่า GARCH-N ด้วย BIC เกิน 30 คะแนน แต่ GJR-skewt ดีกว่า GJR-t แค่ 1 คะแนน ให้เก็บ $t$ ไว้และตัดความเบ้ทิ้ง — พารามิเตอร์ความเบ้ยังไม่คุ้มทุนบนข้อมูลนี้ อย่าอ่าน AIC/BIC เป็นตัวแทนของการตรวจสอบ out-of-sample พวกมันให้รางวัลกับความพอดีแบบ in-sample ที่ปรับด้วยความซับซ้อน ซึ่งจำเป็นแต่ไม่เพียงพอ การทดสอบที่แท้จริงคือ VaR backtest และสุดท้ายคือ walk-forward evaluation

การ Plot News Impact Curve

นี่คือกราฟที่ให้ผลตอบแทนคุ้มค่า — ทำให้ความไม่สมมาตรมองเห็นได้และยืนยันข้อตกลงเรื่องเครื่องหมายของ EGARCH

import matplotlib.pyplot as plt

def news_impact_curve(res, shock_grid):
    """
    Next-period conditional variance as a function of the last shock,
    holding sigma_{t-1} at the model's unconditional level.
    Works for symmetric GARCH, GJR (o=1), and EGARCH.
    """
    p = res.params
    vol_name = res.model.volatility.__class__.__name__
    sigma2_bar = np.mean(res.conditional_volatility ** 2)

    omega = p["omega"]
    alpha = p.get("alpha[1]", 0.0)
    gamma = p.get("gamma[1]", 0.0)
    beta  = p.get("beta[1]", 0.0)

    if vol_name == "EGARCH":
        sig_prev = np.sqrt(sigma2_bar)
        z = shock_grid / sig_prev
        E_abs = np.sqrt(2 / np.pi)   # approx; arch uses the fitted dist's E|z|
        log_s2 = (omega + beta * np.log(sigma2_bar)
                  + alpha * (np.abs(z) - E_abs) + gamma * z)
        return np.exp(log_s2)
    else:
        ind = (shock_grid < 0).astype(float)
        return omega + (alpha + gamma * ind) * shock_grid**2 + beta * sigma2_bar

shocks = np.linspace(-8, 8, 401)   # daily % shocks
plt.figure(figsize=(8, 5))
for name in ["GARCH-N", "GJR-t", "EGARCH-t"]:
    nic = news_impact_curve(models[name], shocks)
    plt.plot(shocks, nic, label=name, lw=2)
plt.axvline(0, color="gray", lw=0.8, ls="--")
plt.xlabel("Last shock  $\\varepsilon_{t-1}$  (daily %)")
plt.ylabel("Next-period conditional variance  $\\sigma_t^2$")
plt.title("News impact curve: symmetric vs GJR vs EGARCH (BTC)")
plt.legend()
plt.tight_layout()

เมื่อคุณรันสิ่งนี้ กราฟ GARCH-N แบบสมมาตรจะเป็นพาราโบลาที่สะอาดมีจุดศูนย์กลางที่ศูนย์ — ช็อก $-6\%$ และ $+6\%$ ให้ variance เท่ากัน GJR-t เป็นพาราโบลาที่มีจุดหักที่จุดกำเนิด สูงกว่าบนแขนซ้าย EGARCH-t เป็นรูปตัว V แบบเอกซ์โพเนนเชียล และถ้าแขนซ้ายของมันอยู่สูงกว่าแขนขวา แสดงว่าคุณได้ยืนยัน leverage effect และข้อตกลงเรื่องเครื่องหมายในคราวเดียว ถ้าแขนซ้ายของ EGARCH อยู่ ต่ำกว่า แขนขวา แสดงว่า $\gamma$ ประมาณได้เป็นบวก (ภาวะ up-vol) หรือคุณมีเครื่องหมายกลับด้าน — กราฟจะบอกคุณได้โดยไม่ต้องเดา

การเปรียบเทียบสี่โมเดลแบบเคียงข้างกัน

ก่อนเข้าสู่เรื่องความเสี่ยง จะเป็นประโยชน์ที่จะนำสี่โมเดลมาเทียบกัน แต่ละแถวคือการตัดสินใจเชิงออกแบบ และคอลัมน์แสดงว่าการตัดสินใจนั้นมีต้นทุนและให้ผลตอบแทนอะไร

รูปแบบที่ควรจดจำ: การก้าวจากคอลัมน์ 1 ไปคอลัมน์ 2 — การเพิ่มทั้งความไม่สมมาตรและหางหนาพร้อมกัน — คือจุดที่การปรับปรุงเรื่อง risk-calibration เกือบทั้งหมดอยู่ การปรับปรุงในขั้นต่อไป (รูปแบบฟังก์ชันของ EGARCH เทอมความเบ้) เป็นของจริงแต่เป็นลำดับรอง และในหลายอนุกรมคริปโตมันอยู่ในระดับ noise ใช้งบประมาณการสร้างโมเดลไปกับการก้าวแรก และตั้งข้อสงสัยกับส่วนที่เหลือ

การประยุกต์ใช้กับความเสี่ยง: VaR และ Expected Shortfall

การ fit โมเดล volatility ที่ซับซ้อนขึ้นจะคุ้มค่าก็ต่อเมื่อมันช่วยปรับปรุงการตัดสินใจ การตัดสินใจที่ชัดเจนที่สุดที่ควรปรับปรุงคือการพยากรณ์ความเสี่ยงหางแบบ one-step: พรุ่งนี้อาจแย่แค่ไหน เราสร้างการพยากรณ์ Value-at-Risk และ Expected Shortfall แบบ one-day-ahead (หรือเรียกว่า Conditional VaR ซึ่ง pipeline พอร์ตโฟลิโอแบบ HRP/CVaR ใช้เป็น objective) โดยตรงจากการพยากรณ์ GARCH-$t$/skew-$t$ ที่ fit แล้ว

จาก Conditional Distribution สู่ VaR

กลไกของ GARCH ให้การพยากรณ์ one-step ของ conditional mean $\mu_{t+1}$ และ conditional standard deviation $\sigma_{t+1}$ ผลตอบแทนถูกโมเดลเป็น $r_{t+1} = \mu_{t+1} + \sigma_{t+1} z_{t+1}$ โดย $z_{t+1}$ สุ่มจากการแจกแจง standardized ที่ fit แล้ว (เกาส์เซียน, $t$ หรือ skew-$t$) ดังนั้นควอนไทล์ $\alpha$ ของ ผลตอบแทน จึงเป็นเพียงการแปลงเชิงเส้นของควอนไทล์ $\alpha$ ของ การแจกแจง standardized:

$\text{VaR}_{\alpha}(t+1) = -\Bigl(\mu_{t+1} + \sigma_{t+1}\, F_z^{-1}(1-\alpha)\Bigr)$

โดยที่ $F_z^{-1}$ คือควอนไทล์ (inverse CDF) ของ standardized innovation และเครื่องหมายลบด้านหน้าเป็นไปตามข้อตกลงที่ VaR เป็นตัวเลขความสูญเสียแบบบวก สำหรับ VaR 99% นั้น $\alpha = 0.99$ และคุณแทนค่า $F_z^{-1}(0.01)$ ประโยชน์ทั้งหมดของ $t$/skew-$t$ ปรากฏตรงนี้: $F_z^{-1}(0.01)$ ติดลบมากกว่าค่าเกาส์เซียน $-2.326$ ดังนั้น VaR จึงใหญ่กว่าอย่างตรงความเป็นจริง

Expected Shortfall

VaR บอกเกณฑ์ขีดแบ่ง แต่ไม่บอกว่าเมื่อทะลุแล้วจะแย่แค่ไหน Expected Shortfall — ความสูญเสียเฉลี่ย ภายใต้เงื่อนไข ที่เกิน VaR — บอกได้ และมันเป็น coherent (subadditive) ซึ่งเป็นเหตุผลที่มันเป็น risk measure เบื้องหลัง CVaR optimization และเหตุผลที่ Basel เปลี่ยนมาใช้มัน สำหรับโมเดล location-scale

$\text{ES}_{\alpha}(t+1) = -\Bigl(\mu_{t+1} + \sigma_{t+1}\, \mathbb{E}\!\left[z \mid z \leq F_z^{-1}(1-\alpha)\right]\Bigr).$

เทอม conditional-tail-expectation $\mathbb{E}[z \mid z \le q]$ มีสูตรปิดสำหรับการแจกแจงมาตรฐาน สำหรับ เกาส์เซียน โดยมี $q = \Phi^{-1}(1-\alpha)$

$\mathbb{E}[z \mid z \le q] = -\frac{\phi(q)}{1-\alpha},$

โดยที่ $\phi$ คือ pdf ของการแจกแจงปกติมาตรฐาน สำหรับ standardized Student-$t$ ที่มี $\nu$ องศาอิสระและ $q = t_\nu^{-1}(1-\alpha)$ (บนสเกล standardized) tail expectation คือ

$\mathbb{E}[z \mid z \le q] = -\frac{\nu + q^2}{\nu - 1}\cdot\frac{g_\nu(q)}{1-\alpha},$

โดยที่ $g_\nu$ คือ pdf ของ standardized-$t$ Expected Shortfall ของ $t$ เกินกว่าค่าของเกาส์เซียนมากกว่าที่ VaR เกินกว่ากัน เพราะหางของ $t$ ไม่ได้แค่อยู่ไกลออกไปเท่านั้น — มัน หนากว่า ด้วย ดังนั้นความสูญเสียเฉลี่ยเกินเกณฑ์ขีดแบ่งจึงใหญ่อย่างไม่ได้สัดส่วน ช่องว่างเพิ่มเติมนั้นคือตัวเลขที่โมเดลเกาส์เซียนซ่อนไว้จากคุณ

การคำนวณ VaR และ ES จากโมเดล arch ที่ Fit แล้ว

การแจกแจงใน arch มีเมท็อด ppf (ควอนไทล์) ให้ใช้ เราจึงได้ควอนไทล์ standardized โดยตรงและไม่ต้องอนุพันธ์อะไรใหม่ สำหรับ ES เราหาปริพันธ์เชิงตัวเลข ซึ่งทนทานและใช้ได้อย่างสม่ำเสมอกับ normal/t/skewt

from scipy import integrate

def var_es_forecast(res, alpha=0.99):
    """
    One-step-ahead VaR and ES at level alpha, on the same (x100) scale
    as the returns fed to the model. Divide by 100 for fractional units.
    """
    fc = res.forecast(horizon=1, reindex=False)
    mu = fc.mean.iloc[-1, 0]
    sigma = np.sqrt(fc.variance.iloc[-1, 0])

    dist = res.model.distribution          # StudentsT / SkewStudent / Normal
    dp = [res.params[k] for k in res.params.index
          if k in ("nu", "eta", "lambda", "lam")]

    z_q = dist.ppf(1 - alpha, dp) if dp else dist.ppf(1 - alpha)
    z_q = float(np.atleast_1d(z_q)[0])

    def pdf(z):
        arr = np.atleast_1d(z).astype(float)
        lp = dist.loglikelihood(dp, arr, np.ones_like(arr), individual=True) \
             if dp else dist.loglikelihood([], arr, np.ones_like(arr),
                                           individual=True)
        return np.exp(lp)

    num, _ = integrate.quad(lambda z: z * pdf(z), -30, z_q, limit=200)
    es_z = num / (1 - alpha)               # E[z | z <= z_q]

    var = -(mu + sigma * z_q)
    es  = -(mu + sigma * es_z)
    return {"mu": mu, "sigma": sigma, "z_q": z_q,
            "VaR": var, "ES": es}

for name in ["GARCH-N", "GJR-t", "GJR-skewt"]:
    out = var_es_forecast(models[name], alpha=0.99)
    print(f"{name:11s}  sigma={out['sigma']:.2f}%  "
          f"z_q={out['z_q']:+.2f}  "
          f"VaR99={out['VaR']:.2f}%  ES99={out['ES']:.2f}%")

คอลัมน์ z_q คือเรื่องราวทั้งหมดในตัวเลขเดียว โมเดลเกาส์เซียนใช้ $z_q \approx -2.33$; $t$ ที่มี $\nu \approx 4.3$ ใช้ค่าใกล้ $-3.3$; skew-$t$ ดันควอนไทล์ ซ้าย ออกไปไกลกว่าเดิม ในขณะที่ดึงควอนไทล์ขวาเข้ามา ค่า $\sigma_{t+1}$ เท่ากัน แต่ VaR ใหญ่กว่าอย่างมีนัยสำคัญ ถ้าคุณเคยรัน VaR แบบเกาส์เซียนบนคริปโต นี่คือช่องว่างที่คุณกำลังดูดซับไว้เงียบๆ

One Step เทียบกับ Multi-Step: ข้อควรระวัง

ทุกอย่างข้างต้นเป็นการพยากรณ์ one-day-ahead และนั่นคือจุดที่ GARCH VaR สะอาดที่สุด มีสองเรื่องที่ทำให้ horizon ที่ยาวขึ้นซับซ้อนขึ้น และคุณควรรู้ก่อนที่จะขยายไปใช้

อย่างแรก การพยากรณ์ variance จะ mean-revert ค่า conditional variance ที่ $h$ ก้าวข้างหน้าจาก GARCH ที่ stationary จะลู่เข้าสู่ระดับ unconditional $\bar\sigma^2$ เมื่อ $h$ เพิ่มขึ้น และ variance สะสม $h$ วันคือผลรวมของการพยากรณ์แต่ละก้าว — มัน ไม่ใช่ $h\times\sigma_{t+1}^2$ เว้นแต่ volatility อยู่ที่ค่าเฉลี่ยระยะยาวพอดี การสเกลแบบ "square-root-of-time" อย่างไร้เดียงสา $\text{VaR}(h) = \sqrt{h}\,\text{VaR}(1)$ ละเลย mean reversion นี้ และผิดพลาดพอดีหลังเกิดช็อก ซึ่งเป็นช่วงที่คุณต้องการตัวเลขนี้มากที่สุด ให้ใช้เส้นทาง variance หลายก้าวของโมเดลเอง

อย่างที่สอง การแจกแจง ของผลตอบแทนหลายวันไม่ได้มีรูปทรงเหมือนกับ innovation รายวัน การรวมช็อกรายวันที่มีการแจกแจงแบบ $t$ หลายตัว (ผ่านสมการวนซ้ำของ GARCH ที่ไม่เป็นเชิงเส้น) ไม่ได้ให้การแจกแจง $t$ ที่ horizon $h$ วัน ไม่มีสูตรปิดที่สะอาด สำหรับ VaR หลายวัน วิธีที่ตรงไปตรงมาคือ การจำลอง (simulation): สุ่มเส้นทาง innovation จากการแจกแจง standardized ที่ fit แล้ว ป้อนผ่านสมการวนซ้ำของ GARCH เพื่อได้เส้นทางผลตอบแทนจำลอง รวมเป็นผลตอบแทน $h$ วัน แล้วอ่านควอนไทล์เชิงประจักษ์ วิธีนี้ยังจัดการกรณี skew-$t$ ได้โดยธรรมชาติ ซึ่งไม่มีควอนไทล์เชิงวิเคราะห์แบบ multi-horizon เลย สูตรวิเคราะห์แบบ one-step ในบทความนี้เป็นสูตรที่แม่นยำ ให้มองทางลัดแบบ multi-step ใดๆ เป็นเพียงการประมาณที่ต้องตรวจสอบ

การ Backtest VaR: Kupiec และ Christoffersen

การพยากรณ์ VaR คือข้อกล่าวอ้างเชิงความน่าจะเป็น: "ความสูญเสียจะเกินเกณฑ์ขีดแบ่งนี้เพียง $(1-\alpha)$ ของวันเท่านั้น" คุณทดสอบมันโดยนับ การละเมิด (violations) (วันที่ความสูญเสียจริงเกิน VaR ที่พยากรณ์ไว้) ตลอดการประเมินแบบ walk-forward และตรวจสอบสองเรื่อง อย่างแรก อัตรา การละเมิดถูกต้องหรือไม่ อย่างที่สอง การละเมิด เป็นอิสระจากกัน หรือรวมกลุ่มกัน (ซึ่งหมายความว่าโมเดลล้มเหลวพอดีในช่วงที่สำคัญที่สุด คือช่วง volatility พุ่งสูง)

ให้ $I_t = \mathbf{1}\{\text{loss}_t > \text{VaR}_t\}$ เป็นลำดับการละเมิด $N = \sum I_t$ คือจำนวนการละเมิดตลอด $T$ วัน และ $\hat{\pi} = N/T$ คืออัตราที่สังเกตได้ อัตราเป้าหมาย $p = 1-\alpha$

Kupiec's unconditional coverage test (1995) ตรวจสอบ $\hat\pi \approx p$ ผ่าน likelihood ratio:

$LR_{uc} = -2\log\!\left[\frac{p^{N}(1-p)^{T-N}}{\hat\pi^{N}(1-\hat\pi)^{T-N}}\right] \;\sim\; \chi^2_1.$

Christoffersen's independence test (1998) ตรวจสอบว่าการละเมิดวันนี้ไม่ได้ถูกทำนายได้จากการละเมิดเมื่อวาน ให้ $n_{ij}$ นับการเปลี่ยนสถานะจาก $i$ ไป $j$ ในลำดับการละเมิด $\pi_{01} = n_{01}/(n_{00}+n_{01})$, $\pi_{11} = n_{11}/(n_{10}+n_{11})$ และ $\pi = (n_{01}+n_{11})/T$ ดังนั้น

$LR_{ind} = -2\log\!\left[\frac{(1-\pi)^{n_{00}+n_{10}}\,\pi^{\,n_{01}+n_{11}}}{(1-\pi_{01})^{n_{00}}\pi_{01}^{n_{01}}(1-\pi_{11})^{n_{10}}\pi_{11}^{n_{11}}}\right] \;\sim\; \chi^2_1.$

ทั้งสองรวมกันเป็นการทดสอบ conditional coverage $LR_{cc} = LR_{uc} + LR_{ind} \sim \chi^2_2$ ซึ่งตรวจสอบทั้งอัตราที่ถูกต้อง และ ความเป็นอิสระพร้อมกัน โมเดลอาจผ่าน Kupiec (จำนวนการละเมิดถูกต้อง) แต่ไม่ผ่าน Christoffersen (การละเมิดทั้งหมดรวมกลุ่มอยู่ในสัปดาห์วิกฤตสัปดาห์เดียว) — นั่นคือรูปแบบความล้มเหลวที่คุณต้องการจับให้ได้มากที่สุด เพราะการละเมิดที่รวมกลุ่มคือสิ่งที่ทำให้บัญชีระเบิด

from scipy.stats import chi2

def var_backtest(losses, var, p):
    """
    losses, var: 1D arrays, same length; loss>0 is a loss, var>0 threshold.
    p = 1 - alpha (target violation rate, e.g. 0.01 for 99% VaR).
    Returns Kupiec, Christoffersen-independence, and conditional-coverage LR.
    """
    losses = np.asarray(losses)
    var = np.asarray(var)
    I = (losses > var).astype(int)          # violation indicators
    T = len(I)
    N = int(I.sum())
    pi_hat = N / T

    eps = 1e-12
    ll_null = N * np.log(p + eps) + (T - N) * np.log(1 - p + eps)
    ll_alt  = N * np.log(pi_hat + eps) + (T - N) * np.log(1 - pi_hat + eps)
    LR_uc = -2 * (ll_null - ll_alt)
    p_uc = 1 - chi2.cdf(LR_uc, df=1)

    n00 = np.sum((I[:-1] == 0) & (I[1:] == 0))
    n01 = np.sum((I[:-1] == 0) & (I[1:] == 1))
    n10 = np.sum((I[:-1] == 1) & (I[1:] == 0))
    n11 = np.sum((I[:-1] == 1) & (I[1:] == 1))
    pi01 = n01 / (n00 + n01) if (n00 + n01) else 0.0
    pi11 = n11 / (n10 + n11) if (n10 + n11) else 0.0
    pi   = (n01 + n11) / (n00 + n01 + n10 + n11)

    def _ll(pi01, pi11, pi_pooled, use_pooled):
        if use_pooled:
            a = (n00 + n10) * np.log(1 - pi_pooled + eps)
            b = (n01 + n11) * np.log(pi_pooled + eps)
            return a + b
        return (n00 * np.log(1 - pi01 + eps) + n01 * np.log(pi01 + eps)
                + n10 * np.log(1 - pi11 + eps) + n11 * np.log(pi11 + eps))

    LR_ind = -2 * (_ll(pi01, pi11, pi, True) - _ll(pi01, pi11, pi, False))
    p_ind = 1 - chi2.cdf(LR_ind, df=1)

    LR_cc = LR_uc + LR_ind
    p_cc = 1 - chi2.cdf(LR_cc, df=2)

    return {
        "T": T, "violations": N,
        "obs_rate": pi_hat, "target_rate": p,
        "LR_uc": LR_uc, "p_uc": p_uc,
        "LR_ind": LR_ind, "p_ind": p_ind,
        "LR_cc": LR_cc, "p_cc": p_cc,
    }

เพื่อสร้างข้อมูลนำเข้า losses/var อย่างตรงไปตรงมา คุณต้อง refit (หรืออย่างน้อยพยากรณ์ใหม่) บน window แบบขยายหรือแบบ rolling และบันทึก VaR แบบ one-step-ahead สำหรับแต่ละวัน out-of-sample จากนั้นเทียบกับความสูญเสียจริงของวันนั้น อย่า backtest VaR แบบ in-sample เด็ดขาด — โมเดลที่ fit บนวิกฤตเดียวกับที่ถูกขอให้พยากรณ์จะดูดีกว่าความเป็นจริงมาก นี่เป็นวินัยเดียวกันกับ backtest-live parity: การประเมินต้องใช้เฉพาะข้อมูลที่มีอยู่ ณ เวลาตัดสินใจเท่านั้น

def walk_forward_var(returns, alpha=0.99, start=750, refit_every=25,
                     vol="Garch", o=1, dist="t"):
    """
    Expanding-window one-step VaR. Refit every `refit_every` days
    (refitting daily is correct but slow; every ~25 days is a common
    compromise -- validate the shortcut on your data).
    """
    losses, vars_ = [], []
    res = None
    for t in range(start, len(returns)):
        if res is None or (t - start) % refit_every == 0:
            am = arch_model(returns.iloc[:t], mean="Constant",
                            vol=vol, p=1, o=o, q=1, dist=dist)
            res = am.fit(disp="off")
        fc = res.forecast(horizon=1, reindex=False)
        mu = fc.mean.iloc[-1, 0]
        sig = np.sqrt(fc.variance.iloc[-1, 0])
        dp = [res.params[k] for k in res.params.index
              if k in ("nu", "eta", "lambda", "lam")]
        z_q = float(np.atleast_1d(
            res.model.distribution.ppf(1 - alpha, dp) if dp
            else res.model.distribution.ppf(1 - alpha))[0])
        var_t = -(mu + sig * z_q)
        vars_.append(var_t)
        losses.append(-returns.iloc[t])     # realized loss for that day
    return np.array(losses), np.array(vars_)

losses, vars_ = walk_forward_var(r, alpha=0.99, dist="t")
print(var_backtest(losses, vars_, p=0.01))

การอ่านผล: VaR 99% ที่ผ่านการปรับเทียบดีจะแสดงอัตราที่สังเกตได้ใกล้เคียง 1%, Kupiec ที่ไม่มีนัยสำคัญ (p_uc มีค่ามาก) และ Christoffersen ที่ไม่มีนัยสำคัญ (p_ind มีค่ามาก) — ไม่มีการรวมกลุ่ม ในทางปฏิบัติ ผลลัพธ์ที่ตรงไปตรงมาบนคริปโตคือ GARCH-Normal ไม่ผ่าน Kupiec (การละเมิดมากเกินไป p_uc มีค่าน้อยมาก) ในขณะที่ GJR-$t$ หรือ EGARCH-$t$ ผ่านหรือใกล้ผ่าน ความต่างนั้นคือข้อโต้แย้งทั้งหมดของบทความนี้ในรูปแบบการทดสอบสมมติฐาน ถ้าแม้แต่โมเดล $t$ ก็ยังแสดงการละเมิดที่รวมกลุ่ม (p_ind มีค่าน้อย) แสดงว่า volatility dynamics ของคุณยังถูกระบุผิด — มักเป็นสัญญาณว่าคุณต้องการหน่วยความจำที่ยาวขึ้น (component/FIGARCH) หรือชั้น regime เพิ่มเติม ซึ่งเชื่อมโยงกับ การตรวจจับ regime ด้วย HMM

การจัดอันดับโมเดลด้วยความสูญเสียหาง ไม่ใช่แค่ผ่าน/ไม่ผ่าน

Kupiec และ Christoffersen ให้คำตัดสินแบบสองทาง — โมเดลถูกปฏิเสธหรือไม่ถูกปฏิเสธ นั่นจำเป็นแต่หยาบเกินไป: สองโมเดลอาจ "ผ่าน" ทั้งคู่ในขณะที่อันหนึ่งคมชัดกว่าอย่างมีนัยสำคัญ เพื่อ จัดอันดับ การพยากรณ์ VaR ที่แข่งขันกัน ให้ให้คะแนนด้วยฟังก์ชันความสูญเสียที่ consistent อย่างเคร่งครัดสำหรับควอนไทล์ คือ pinball (quantile) loss:

$L_\tau(r, q) = \bigl(\tau - \mathbf{1}\{r < q\}\bigr)\,(r - q), \qquad \tau = 1-\alpha,$

โดยที่ $q$ คือควอนไทล์ VaR (แบบมีเครื่องหมาย) และ $r$ คือผลตอบแทนจริง เมื่อเฉลี่ยตลอดวัน out-of-sample ค่าเฉลี่ย pinball loss ที่ต่ำกว่าหมายถึงควอนไทล์ที่ปรับเทียบดีกว่า และ คมชัดกว่า เนื่องจาก loss นี้ consistent สำหรับควอนไทล์ $\tau$ การ minimize มันจึงไม่ให้รางวัลกับโมเดลที่กว้างเกินไปอย่างเกียจคร้าน ในการเปรียบเทียบสองโมเดลอย่างเป็นทางการ ให้ป้อนความต่างของ loss รายวันของทั้งสองเข้าสู่ Diebold-Mariano test

def pinball_loss(returns, var, alpha=0.99):
    tau = 1 - alpha
    q = -np.asarray(var)               # VaR is a positive loss; quantile is negative
    r = np.asarray(returns)
    hit = (r < q).astype(float)
    return np.mean((tau - hit) * (r - q))

สำหรับ Expected Shortfall โดยเฉพาะ พึงสังเกตว่า ES ไม่ elicitable ด้วยตัวมันเอง (ไม่มีฟังก์ชันความสูญเสียใดที่ตัว minimizer คือ ES เพียงอย่างเดียว) ซึ่งเป็นข้อยุ่งยากเชิงทฤษฎีที่แท้จริง: คุณต้องประเมิน ES ร่วมกับ VaR โดยใช้ scoring rule ของ Fissler-Ziggel หรือใช้วิธีปฏิบัติที่ง่ายกว่าคือตรวจสอบว่าขนาดการทะลุเฉลี่ยตรงกับ ES ที่โมเดลพยากรณ์ไว้หรือไม่ วิธีตรวจสอบ ES แบบหยาบแต่มีประโยชน์: ในบรรดาวันที่ VaR ถูกละเมิด ให้เปรียบเทียบความสูญเสียจริงเฉลี่ยกับ ES ที่พยากรณ์ไว้เฉลี่ยในวันเหล่านั้น — ควรใกล้เคียงกัน

กรอบเชิงกำกับดูแลคือแนวทาง Basel traffic-light: ตลอด 250 วันเทรด การละเมิด VaR 99% จำนวน 0-4 ครั้งคือ "เขียว" (ยอมรับได้) 5-9 ครั้งคือ "เหลือง" (ต้องตรวจสอบเพิ่ม) 10 ครั้งขึ้นไปคือ "แดง" (โมเดลถูกปฏิเสธและตัวคูณเงินทุนเพิ่มขึ้น) มันเป็นญาติที่หยาบกว่าของ Kupiec แต่เป็นภาษาที่คณะกรรมการความเสี่ยงใช้พูดกันจริง และควรรายงานควบคู่ไปกับสถิติ LR

ข้อพิจารณาเชิงปฏิบัติ

เมื่อพารามิเตอร์เพิ่มเติมไม่คุ้มค่า

ค่าเริ่มต้นที่ตรงไปตรงมาคือการตั้งข้อสงสัยต่อความซับซ้อน พารามิเตอร์ทุกตัวที่คุณเพิ่มคือปุ่มที่ optimizer สามารถ overfit ได้ และ asymmetric fat-tailed GARCH ก็มีหลายตัว คำแนะนำที่เป็นรูปธรรม:

• ตัวอย่างที่สภาพคล่องต่ำหรือสั้น ด้วยข้อมูลรายวันเพียงไม่กี่ร้อยตัว standard error ของ $\gamma$ และ $\lambda$ จะใหญ่ และคุณจะ "ตรวจพบ" ความไม่สมมาตรที่เป็นแค่ sampling noise บน altcoin ใหม่หรือบางเบา GARCH-$t$ แบบสมมาตรมักเป็นโมเดลที่ซับซ้อนที่สุดที่ข้อมูลรองรับได้ การ fit skew-$t$ EGARCH บนข้อมูล 200 วันคือการหลอกตัวเอง
• เทอมความเบ้มักไม่คุ้มต้นทุน ในทางปฏิบัติ การย้ายจาก Normal ไป $t$ เป็นการปรับปรุงที่ใหญ่และเชื่อถือได้ (หางหนาเป็นของจริงและแข็งแกร่ง) การย้ายจาก $t$ ไป skew-$t$ มักจะเป็นแค่ marginal — BIC ดีขึ้น 1 หรือ 2 บางครั้งติดลบ ให้เพิ่มความเบ้เฉพาะเมื่อข้อมูลเรียกร้องชัดเจนเท่านั้น
• EGARCH เทียบกับ GJR มักจะพอๆ กันบนข้อมูลรายวัน ทั้งสองเข้ารหัสเรื่องราวเชิงคุณภาพเดียวกันด้วยรูปแบบฟังก์ชันต่างกัน เลือกโดยดูจาก out-of-sample VaR backtest ไม่ใช่ดูว่าอันไหน log-likelihood in-sample สวยกว่า
• ความถี่ที่สูงขึ้นเปลี่ยนคำตอบ บนแท่งรายชั่วโมงหรือรายนาที ฤดูกาลภายในวันและ microstructure มีอิทธิพลเหนือกว่า และ GARCH แบบรายวันธรรมดาจะระบุผิดไม่ว่าจะมีความไม่สมมาตรหรือไม่ก็ตาม ปัญหาต่างกัน เครื่องมือก็ต้องต่างกัน

นี่คือบทเรียนเดียวกันกับ การประเมินอย่างตรงไปตรงมาเมื่อไม่มี edge ที่แข็งแกร่ง: โมเดลที่ซับซ้อนกว่าซึ่งไม่รอดจากการทดสอบ out-of-sample แย่กว่าโมเดลง่ายที่มันแทนที่ เพราะมันพกพาภาพลวงตาของความแม่นยำ รายงานผลลัพธ์เชิงลบ — "ความเบ้ไม่ช่วยอะไรบน ETH" — เป็นข้อค้นพบที่แท้จริง และใช้ walk-forward optimization เป็นผู้ตัดสิน ไม่ใช่ AIC แบบ in-sample

นี่คือ Marginals ที่ทุกอย่างอื่นสร้างต่อยอด

โมเดลในบทความนี้ไม่ใช่จุดสิ้นสุด พวกมันคือ building block แบบตัวแปรเดี่ยวสำหรับกลไกความเสี่ยงร่วม บทความ copula models สำหรับความเสี่ยงร่วมของคริปโต ใช้ EGARCH/GJR-$t$ เป๊ะๆ เป็น marginals แบบ GARCH-EVT ก่อนที่จะ fit vine copula — คุณ fit asymmetric fat-tailed GARCH ต่อสินทรัพย์หนึ่ง สกัด standardized residuals ออกมา แล้วจึงค่อยโมเดลความสัมพันธ์ข้ามสินทรัพย์ ถ้า marginal ของคุณเป็น Gaussian GARCH แบบสมมาตร copula ก็จะสืบทอดความผิดพลาดของหางไปด้วย ไม่ว่าโมเดลความสัมพันธ์จะดีแค่ไหนก็ตาม Marginal ขยะ ก็ได้ joint VaR ขยะ

สำหรับปัญหา volatility แบบหลายตัวแปร — correlations ที่แปรผันตามเวลา แทนที่จะเป็น variance ต่อสินทรัพย์ — ดู ตอนที่ 3, DCC-GARCH ซึ่งเพิ่มโมเดล dynamic-correlation ทับบนการ fit แบบตัวแปรเดี่ยวเหล่านี้ และสำหรับการแปลงการพยากรณ์ volatility ให้เป็นการกำหนดขนาดโพซิชันและ backtest การเทรด ตอนที่ 4 เรื่อง volatility targeting ใช้การพยากรณ์ $\sigma_{t+1}$ จากโมเดลเหล่านี้เป๊ะๆ เพื่อปรับขนาดการเปิดโพซิชันแปรผกผันกับความเสี่ยงที่พยากรณ์ไว้

ทางเลือกแบบ Distribution-Free

ทุกอย่างในส่วนความเสี่ยงตั้งอยู่บนสมมติฐานเชิงพารามิเตอร์: ว่า standardized residuals เป็นไปตาม $t$ หรือ skew-$t$ สมมติฐานนั้นทดสอบได้และมักสมเหตุสมผล แต่ก็อาจล้มเหลวได้ ถ้าคุณไม่อยากผูกมัดกับรูปทรงหางใดๆ เลย conformal prediction ให้ prediction intervals แบบ distribution-free พร้อมการรับประกัน coverage แบบ finite-sample — เป็นปรัชญาที่ต่างออกไปอย่างแท้จริงซึ่งไม่ตั้งข้อกล่าวอ้างใดๆ เกี่ยวกับการแจกแจงของ innovation ทั้งสองวิธีเสริมกัน: GARCH-$t$ เชิงพารามิเตอร์ให้ conditional density แบบเต็ม (จึงได้ ES ซึ่ง conformal intervals ให้โดยตรงไม่ได้) ในขณะที่ conformal ให้ coverage ที่ยังคงอยู่แม้ density ของคุณจะผิด ในการใช้งานจริง การใช้ทั้งสองเป็น cross-check เป็นการประกันที่มีต้นทุนต่ำ

สุขอนามัยเชิงตัวเลขและ Workflow

• สเกลผลตอบแทนด้วย 100 ตัว optimizer ของ GARCH ลู่เข้าได้เชื่อถือได้กว่ามากบนผลตอบแทนแบบเปอร์เซ็นต์ เทียบกับผลตอบแทนแบบเศษส่วนดิบ อย่าลืม unscale VaR/ES ถ้าคุณรายงานในหน่วยเศษส่วน
• จับตา persistence ถ้า $\alpha + \beta + \tfrac12\gamma$ ประมาณได้เกินประมาณ 0.999 โมเดลใกล้เคียง near-integrated (คล้าย IGARCH); การพยากรณ์ mean-revert ช้ามาก และการพยากรณ์ variance ระยะยาวจะไม่น่าเชื่อถือ ไม่จำเป็นต้องผิด แต่ควรตั้งข้อสังเกต
• ความล้มเหลวในการลู่เข้าบน rolling windows รูปแบบ log ของ EGARCH หลีกเลี่ยงข้อจำกัดความไม่ติดลบได้ แต่ก็ยังอาจลู่เข้าไม่ได้บน window ที่ผิดปกติ ให้ครอบ fit() ด้วย try/except และย้อนกลับไปใช้พารามิเตอร์ของ window ก่อนหน้า แทนที่จะทำให้ live backtest ล่ม
• Mean model เราใช้ constant mean ตลอดทั้งบทความ สำหรับคริปโตรายวันส่วนใหญ่ conditional mean ใกล้ศูนย์และถูกกลบด้วย volatility อย่าเสียความซับซ้อนของโมเดลไปกับการพยากรณ์มัน เว้นแต่คุณจะมีเหตุผลจริงจัง

สรุป

• GARCH(1,1) ธรรมดามีข้อบกพร่องเชิงโครงสร้างสองอย่าง: มันสมมาตร (ตอบสนองต่อ $+x\%$ และ $-x\%$ เหมือนกันเพราะช็อกเข้าเป็น $\varepsilon^2$) และมันสมมติ Gaussian innovations (ตีราคาหางหนาของคริปโตต่ำกว่าจริง) ทั้งสองอย่างมีต้นทุนเป็นเงินจริงผ่าน VaR ที่มองโลกในแง่ดีเกินไป
• GJR-GARCH เพิ่มเทอมเกณฑ์ขีดแบ่ง $\gamma\,I(\varepsilon_{t-1}<0)\,\varepsilon_{t-1}^2$ ค่า $\gamma > 0$ ที่มีนัยสำคัญคือ leverage effect: ข่าวร้ายเพิ่ม volatility มากกว่า เงื่อนไขไม่ติดลบต้องการ $\alpha+\gamma\ge0$; persistence คือ $\alpha+\beta+\tfrac12\gamma$
• EGARCH โมเดล $\log\sigma_t^2$ ดังนั้นจึงไม่มีข้อจำกัดความไม่ติดลบ และ stationarity คือแค่ $|\beta|<1$ ความไม่สมมาตรเข้ามาผ่านเทอมมีเครื่องหมาย $\gamma z_{t-1}$ (leverage คือ $\gamma<0$ ในข้อตกลงนี้) แยกจากเทอมขนาด $|z_{t-1}|$
• News impact curve — variance งวดถัดไปเทียบกับช็อกล่าสุด — ทำให้ความไม่สมมาตรมองเห็นได้และยืนยันข้อตกลงเรื่องเครื่องหมายของ EGARCH ได้ในทันที
• Innovations แบบ Student-$t$ (dist='t') แก้ปัญหาหางผ่านองศาอิสระ $\nu$ (โดยทั่วไป 3-6 สำหรับคริปโต); skew-$t$ ของ Hansen (dist='skewt') เพิ่มความเบ้ $\lambda$ สำหรับหางซ้ายที่หนักกว่า การย้ายจาก Normal ไป $t$ เป็นผลได้ที่ใหญ่และเชื่อถือได้; $t$ ไป skew-$t$ มักเป็นแค่ marginal
• VaR และ ES มาจาก conditional distribution ที่ fit แล้ว: $\text{VaR}_\alpha = -(\mu_{t+1} + \sigma_{t+1}F_z^{-1}(1-\alpha))$ โดยควอนไทล์แบบหางหนาทำให้ความเสี่ยงใหญ่กว่าเกาส์เซียนอย่างตรงความจริง ES (coherent, $\approx$ CVaR) จับความสูญเสียเฉลี่ยที่เกิน VaR
• Backtest ด้วย Kupiec และ Christoffersen Kupiec ตรวจสอบอัตราการละเมิด; Christoffersen ตรวจสอบว่าการละเมิดไม่ได้รวมกลุ่มกัน โมเดลอาจผ่านอันหนึ่งแต่ไม่ผ่านอีกอันได้ — การละเมิดที่รวมกลุ่มคือรูปแบบความล้มเหลวที่อันตราย ให้ backtest แบบ out-of-sample อย่างเคร่งครัด
• วินัยเหนือความซับซ้อน เพิ่มความไม่สมมาตร/ความเบ้เฉพาะเมื่อมันรอดผ่าน BIC และ VaR backtest แบบ out-of-sample บนอนุกรมที่สั้นหรือสภาพคล่องต่ำ โมเดลที่ง่ายกว่ามักชนะ

References:

• Nelson, D. B. (1991). Conditional heteroskedasticity in asset returns: A new approach. Econometrica, 59(2), 347-370. DOI
• Glosten, L. R., Jagannathan, R., & Runkle, D. E. (1993). On the relation between the expected value and the volatility of the nominal excess return on stocks. Journal of Finance, 48(5), 1779-1801. DOI
• Bollerslev, T. (1987). A conditionally heteroskedastic time series model for speculative prices and rates of return. Review of Economics and Statistics, 69(3), 542-547. DOI
• Hansen, B. E. (1994). Autoregressive conditional density estimation. International Economic Review, 35(3), 705-730. DOI
• Engle, R. F., & Ng, V. K. (1993). Measuring and testing the impact of news on volatility. Journal of Finance, 48(5), 1749-1778. DOI
• Christoffersen, P. F. (1998). Evaluating interval forecasts. International Economic Review, 39(4), 841-862. DOI
• Kupiec, P. H. (1995). Techniques for verifying the accuracy of risk measurement models. Journal of Derivatives, 3(2), 73-84. DOI
• Black, F. (1976). Studies of stock price volatility changes. Proceedings of the American Statistical Association, Business and Economic Statistics Section, 177-181.
• McNeil, A. J., Frey, R., & Embrechts, P. (2015). Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques and Tools (2nd ed.). Princeton University Press.
• Sheppard, K. (2023). arch: Autoregressive conditional heteroskedasticity models in Python. GitHub.