認識與對立：衡量收益模型不知道的東西

本博客的每個位置 sizing 規則都把不確定性坍縮成單一純量。Kelly除以方差。Conformal prediction除以區間寬度。Volatility targeting除以 GARCH 預測。三者都正確，而三者都拋棄了對交易至關重要的區別：喧鬧市場與無知模型之間的區別。

這不是同樣的風險。市場噪聲有價格——這是你承受它所得到的補償。模型無知沒有價格，沒有補償，而且正是你的優勢估計最不可信的狀態。同樣懲罰兩者的 sizing 規則會把錢留在桌上。

這篇文章是關於讓這種分割可測量。具體來說：

$\sigma^2_{\text{eff}} = \sigma^2_{\text{alea}} + \lambda \cdot \sigma^2_{\text{epi}}, \qquad \lambda > 1$

把它放在 Kelly 分母中代替總方差。其餘部分是如何估計兩個分量（MC Dropout、深度集成），以及分割在真實數據上的實際樣子。

論點：兩種不確定性要求兩種回應

「交易行動」行中的不對稱是整個論點。高對立方差是已知的未知：你可以為其 sizing，對其進行 hedge，並期望因持有它而獲得風險溢價。高認識方差是未知的未知：模型正在外推，其均值估計 $\mu$ 與其方差估計一樣可疑，並且對自己參數出錯沒有附加溢價。

將兩者混為一談的模型要麼在不熟悉的 regime 中過度交易（忽略認識不確定性），要麼在熟悉但喧鬧的 regime 中交易不足（過度懲罰對立不確定性）。應用於 $\sigma^2_{\text{total}}$ 的標準 Kelly 根據哪個分量佔主導而兩者都做。

分解

認識不確定性來自對模型參數 $\theta$ 的不確定性。我們不是維持單個 $\theta^*$（如在最大似然中），而是維持分佈 $p(\theta \mid \mathcal{D})$ 並積分：

$p(y \mid x, \mathcal{D}) = \int p(y \mid x, \theta)\, p(\theta \mid \mathcal{D})\, d\theta$

通過 $\theta$ 積分引起的擴散是認識的。隨著 $\mathcal{D}$ 增長以覆蓋輸入區域，它會縮小。

對立不確定性是數據生成過程的條件噪聲。在神經網絡中，它由發出輸入相依方差的第二個輸出頭建模：

$p(y \mid x, \theta) = \mathcal{N}\bigl(y;\, \mu_\theta(x),\, \sigma^2_\theta(x)\bigr)$

這個異方差頭正在估計 GARCH 傳統估計的同一對象——夜間高、峰值時間低的狀態相依條件方差。如果你想要它在加密貨幣上的經驗數據，GARCH(1,1) for crypto volatility 適當涵蓋了它，包括為什麼 live 條件預測（而不是無條件樣本方差）屬於 Kelly 分母。NN 頭只是同一數量的不同估計器，與均值聯合 fit。

GARCH 無法給你的是另一項。這就是這篇文章其餘部分的目的。

與已發布內容的相關位置

之前的兩篇文章涵蓋了相鄰領域，值得先閱讀，因為這篇文章故意不重複它們：

• Conformal prediction for risk-aware position sizing 給你具有有限樣本覆蓋保證的區間，無分佈假設，加上逆寬度 sizing 和 edge-ratio 無交易過濾器。如果你只想要一個正確 sized 的區間，它是更強的工具。
• Temporal Fusion Transformers 直接發出分位數，並已警告 pinball-loss 分位數不會自動在樣本外校準。

權衡清晰。Conformal 給你保證但只有一個數字——區間寬度不可分解，因此它無法告訴你為什麼它變寬了。貝葉斯方法給你分解但沒有保證——MC Dropout 的區間只能與近似後驗一樣好。這篇文章是關於購買分解；你可能應該在上方保留 conformal 以進行覆蓋。

方法 1：變分推理（Bayes by Backprop）

貝葉斯神經網絡在權重上放置先驗 $p(\theta)$ 並尋找後驗 $p(\theta \mid \mathcal{D}) \propto p(\mathcal{D} \mid \theta) p(\theta)$。歸一化因子需要對每個權重配置進行積分，這對於任何具有多於少數參數的東西都是難以處理的。

變分推理用可處理的族 $q_\phi(\theta)$——通常是因式分解高斯 $q_\phi(\theta) = \prod_j \mathcal{N}(\theta_j; \mu_j, \sigma_j^2)$——替換難以處理的後驗，並最小化：

$\text{KL}\bigl(q_\phi(\theta) \,\|\, p(\theta \mid \mathcal{D})\bigr)$

由於這涉及未知的後驗，我們改為最大化 證據下界：

$\mathcal{L}(\phi) = \mathbb{E}_{q_\phi(\theta)}\bigl[\log p(\mathcal{D} \mid \theta)\bigr] - \text{KL}\bigl(q_\phi(\theta) \,\|\, p(\theta)\bigr)$

第一項將 $q_\phi$ 推向解釋數據；第二項使其保持接近先驗。Bayes by Backprop (Blundell et al., 2015) 通過重參數技巧使其可微分：採樣 $\epsilon \sim \mathcal{N}(0, I)$，設置 $\theta = \mu + \sigma \odot \epsilon$。

在實踐中，VI 將參數數量加倍，增加梯度方差（每次前向傳遞使用不同的權重），平均場假設忽略權重相關性，這傾向於低估認識不確定性。對於你已經有訓練好的確定性模型的交易棧來說，下面兩種更便宜的方法通常是更好的入門點。

方法 2：MC Dropout

Gal 和 Ghahramani (2016) 表明，用 dropout 訓練並在 測試時仍啟用 dropout 評估的網絡是深高斯過程中的近似變分推理程序。Dropout 已經在子網絡上產生分佈；在推理期間保持其開啟並運行 $T$ 次前向傳遞從該隱式後驗中採樣。

這個博客的其他地方都沒有。這裡發布的代碼僅將 dropout 用作訓練時間正則化器（spread modeling，TFT 在 dropout=0.1–0.3）。在推理期間保持其開啟是一行更改，具有完全不同的含義。

預測統計

給定 $T$ 個隨機前向傳遞產生 $\{\hat{y}_t\}_{t=1}^{T}$ 和每次傳遞的方差 $\hat{\sigma}_t^2(x)$：

預測均值：

$\bar{y} = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T \hat{y}_t$

認識（傳遞之間的分歧）：

$\sigma^2_{\text{epi}} = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T (\hat{y}_t - \bar{y})^2$

對立（預測噪聲的均值）：

$\sigma^2_{\text{alea}} = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T \hat{\sigma}_t^2$

分解正是總方差定律：條件均值的方差加上條件方差的均值。總預測方差是它們的總和。

PyTorch 實現

import torch
import torch.nn as nn
import numpy as np

class MCDropoutNet(nn.Module):
    """
    用於不確定性估計的 MC Dropout 收益預測網絡。
    輸出預測均值和對數方差（對立）。
    """
    def __init__(self, input_dim: int, hidden_dim: int = 128, dropout_p: float = 0.1):
        super().__init__()
        self.net = nn.Sequential(
            nn.Linear(input_dim, hidden_dim),
            nn.ReLU(),
            nn.Dropout(p=dropout_p),
            nn.Linear(hidden_dim, hidden_dim),
            nn.ReLU(),
            nn.Dropout(p=dropout_p),
        )
        self.head_mu = nn.Linear(hidden_dim, 1)        # 預測收益
        self.head_logvar = nn.Linear(hidden_dim, 1)    # log(對立方差)

    def forward(self, x: torch.Tensor):
        h = self.net(x)
        return self.head_mu(h), self.head_logvar(h)


def heteroscedastic_loss(mu, log_var, target):
    """對於學習的輸入相依方差的高斯的負對數似然。"""
    precision = torch.exp(-log_var)
    return torch.mean(0.5 * precision * (target - mu) ** 2 + 0.5 * log_var)


@torch.no_grad()
def mc_predict(model: MCDropoutNet, x: torch.Tensor, n_samples: int = 100):
    """
    MC Dropout 推理：保持 dropout ON，收集 T 個前向傳遞，
    將預測方差分解為認識和對立部分。
    """
    model.train()  # 不是 eval() -- 這就是讓 dropout 保持活動的東西
    mus, log_vars = [], []
    for _ in range(n_samples):
        mu, log_var = model(x)
        mus.append(mu)
        log_vars.append(log_var)

    mus = torch.stack(mus)            # (T, batch, 1)
    log_vars = torch.stack(log_vars)  # (T, batch, 1)

    pred_mean = mus.mean(dim=0)
    epistemic_var = mus.var(dim=0)              # 傳遞的方差
    aleatoric_var = log_vars.exp().mean(dim=0)  # 傳遞的期望

    return {
        "mean": pred_mean.squeeze(-1),
        "epistemic_std": epistemic_var.sqrt().squeeze(-1),
        "aleatoric_std": aleatoric_var.sqrt().squeeze(-1),
        "total_std": (epistemic_var + aleatoric_var).sqrt().squeeze(-1),
    }

訓練使用異方差損失，這使方差頭具有意義。注意自我調節結構：0.5 * precision * (target - mu)**2 項希望小方差，0.5 * log_var 項懲罰它，平衡點是條件噪聲水平。

model = MCDropoutNet(input_dim=50, hidden_dim=128, dropout_p=0.1)
optimizer = torch.optim.AdamW(model.parameters(), lr=1e-3, weight_decay=1e-4)

for epoch in range(200):
    model.train()
    for x_batch, y_batch in train_loader:
        mu, log_var = model(x_batch)
        loss = heteroscedastic_loss(mu, log_var, y_batch)
        optimizer.zero_grad()
        loss.backward()
        optimizer.step()

**靜靜扼殺方法的一點：**在 mc_predict 中調用 model.eval()。它禁用 dropout，每次傳遞返回相同的值，epistemic_var 完全坍縮為零，你的 sizing 規則悄悄恢復為對立方差上的普通 Kelly。它在沒有錯誤的情況下失敗。在你的推理路徑中斷言 epistemic_var > 0。

選擇前向傳遞數量

• $T = 30$：穩定均值的合理下限
• $T = 100$：均值和方差的可工作默認值
• $T = 500{+}$：除非你需要尾部分位數，否則收益遞減

方法 3：深度集成

Lakshminarayanan et al. (2017) 訓練 $M$ 個來自不同隨機初始化的獨立網絡並聚合。儘管不是正式貝葉斯，深度集成在不確定性校準基準上始終優於更原則的方法。

$p(y \mid x) \approx \frac{1}{M} \sum_{m=1}^M p(y \mid x, \theta_m^*)$

成員之間的分歧是認識估計。集成在這個博客的其他地方作為聚合設備出現——異常檢測、HMM regime 檢測、conformal 的 EnbPI block bootstrap——但從未作為通過成員間擴散的不確定性估計器。這就是這裡的用法。

集成實現

多樣性來自獨立訓練，而不是構建 $M$ 個對象。未訓練或相同訓練的成員的集成返回噪聲或零認識方差：

class DeepEnsemble:
    def __init__(self, input_dim: int, n_models: int = 5, hidden_dim: int = 128):
        self.models = []
        for seed in range(n_models):
            torch.manual_seed(seed)          # 每個成員的不同 init
            self.models.append(
                MCDropoutNet(input_dim, hidden_dim, dropout_p=0.0)
            )

    def fit(self, train_loader, epochs: int = 200, lr: float = 1e-3):
        """每個成員獨立訓練。這就是多樣性的來源
        -- 不同的 init，不同的洗牌順序。跳過這個
        給出 epistemic_var == 0（相同成員）或純噪聲（未訓練）。"""
        for seed, model in enumerate(self.models):
            torch.manual_seed(1000 + seed)   # 不同的洗牌/dropout 流
            opt = torch.optim.AdamW(model.parameters(), lr=lr, weight_decay=1e-4)
            model.train()
            for _ in range(epochs):
                for x_batch, y_batch in train_loader:
                    mu, log_var = model(x_batch)
                    loss = heteroscedastic_loss(mu, log_var, y_batch)
                    opt.zero_grad()
                    loss.backward()
                    opt.step()
        return self

    @torch.no_grad()
    def predict(self, x: torch.Tensor):
        mus, variances = [], []
        for model in self.models:
            model.eval()                     # 在這裡正確：沒有 dropout 採樣
            mu, log_var = model(x)
            mus.append(mu.squeeze(-1))
            variances.append(log_var.exp().squeeze(-1))

        all_mus = torch.stack(mus)
        all_vars = torch.stack(variances)

        epistemic_var = all_mus.var(dim=0)   # 跨越成員的擴散
        aleatoric_var = all_vars.mean(dim=0)

        return {
            "mean": all_mus.mean(dim=0),
            "epistemic_std": epistemic_var.sqrt(),
            "aleatoric_std": aleatoric_var.sqrt(),
            "total_std": (epistemic_var + aleatoric_var).sqrt(),
        }

注意 model.eval() 在 DeepEnsemble.predict 中是正確的，而在 mc_predict 中是錯誤的。隨機性來源不同：集成來自獨立訓練，MC Dropout 來自實時 dropout 掩碼。

權衡：MC Dropout vs 深度集成

務實的混合：訓練一個小集成（$M = 3{-}5$），其中每個成員也使用 MC Dropout，捕獲模型間分歧和模型內隨機性。

收益：不對稱 Sizing

這是真正的貢獻。高斯 Kelly 是 $f^* = \mu / \sigma^2$；推導、增長拋物線、回撤概率表和四個運行部分而非完整 Kelly 的原因都在 The Kelly Criterion for Strategies 中，這裡不重複。採用 $f^* = \mu / \sigma^2$ 作為給定的 quarter-Kelly 分數。

修改是分母。而不是總預測方差：

$\sigma^2_{\text{eff}} = \sigma^2_{\text{alea}} + \lambda \cdot \sigma^2_{\text{epi}}, \qquad \lambda > 1$

$\lambda > 1$ 的論點：對立方差是市場的噪聲，它有價格，承受它是策略賺錢的方式。認識方差是你的無知——它沒有溢價，更糟糕的是，它與你的 $\mu$ 估計錯誤相關。當 $\sigma_{\text{epi}}$ 大時，Kelly 的分子在分母同時不可靠，因此 sizing 錯誤複合。相對於市場噪聲超線性懲罰它是其直接表達。

def uncertainty_adjusted_position_size(
    pred_mean: float,
    epistemic_std: float,
    aleatoric_std: float,
    max_position: float = 1.0,
    lam: float = 2.0,                   # 認識懲罰；在 validation 上調整
    max_epi_ratio: float = 0.5,         # 在此 epi/alea 比率以上 abstain
    base_kelly_fraction: float = 0.25,
) -> float:
    """Kelly sizing，其中認識方差被懲罰得比對立更重。"""
    effective_var = aleatoric_std ** 2 + lam * epistemic_std ** 2
    if effective_var < 1e-10:
        return 0.0

    position = (pred_mean / effective_var) * base_kelly_fraction

    # 在比率上的信心閘，而非總不確定性
    epi_ratio = epistemic_std / (aleatoric_std + 1e-8)
    if epi_ratio > max_epi_ratio:
        position *= max(0.0, 1.0 - epi_ratio)

    return float(np.clip(position, -max_position, max_position))

閘值得到了註釋。在信心閾值以下將 position 歸零在這裡並不新——conformal 文章將一般 no-trade 過濾器指定和編碼為 $e_t = |\hat{\mu}| / w_t$ 並帶有 min_edge 閾值，包括如何選擇閾值以及 straddling 零的區間的幾何讀取。有關該機械裝置，請參閱 conformal prediction。新的是分母：在 $\sigma_{\text{epi}} / \sigma_{\text{alea}}$ 上的閘門具體在模型對自己的參數比市場更困惑時觸發——總不確定性 gating 無法檢測到的狀態，因為平靜但不熟悉的 regime 可能具有低總方差和糟糕的認識比率。

校準：委派這個

不確定性估計只有在校準時才有用：名義 95% 區間應該包含真理約 95% 的時間。不要在這裡推出自己的 Gaussian 分位數可靠性檢查——厚尾收益殘差上的參數區間正是 conformal prediction 存在以避免的失敗模式，它帶有一個正在運行的 evaluate()，報目標與經驗覆蓋，背後有有限樣本保證。TFT 帖子對分位數頭做了同樣的點。

後驗重新縮放（$\tilde{\sigma} = \alpha \sigma + \beta$ 在驗證集上 fit）是廉價的修復，它是 Adaptive Conformal Inference 的較弱表弟，後者維持在線 miscoverage 水平 $\alpha_t$ 並具有長期覆蓋界限，而不是靜態重新縮放。ACI 是更強的選擇；唯一更喜歡線性重新縮放的原因是它保留了認識/對立比率，而 ACI 的單一寬度則不會。

發布前必須測量的內容

上述方法已建立。分割在交易中買到任何東西的主張沒有，這個博客不會基於論點發布 sizing 規則。標準：

1. 數據集和目標。 命名工具、bar 大小、明確日期範圍、特徵集和預測目標。

2. 分割本身。 總預測方差有多少是認識與對立，以及該比率在命名的平靜窗口和命名的波動窗口之間如何移動。這是資金圖表，它還不存在。值得 falsify 的假設：比率在實際波動性之前 pike，因為不熟悉先於湍流。

3. 覆蓋率 vs conformal。 在同一數據上發布文章的 split-conformal 區間相比，MC Dropout 區間的測量外樣本覆蓋率與名義。這個 head-to-head 本身是一個新結果，是兩篇文章之間的自然橋樑。

4. $\lambda$ 買到任何東西嗎？ 在 validation 上掃描認識懲罰並報告 PnL 和最大回撤與 $\lambda = 1$ 基線相比。如果它沒有買到任何東西，就這樣說——The Honest Negative 是該結果的模板，它是可發布的結果。

5. 推理成本。 在目標硬件上測量，在每個 $T$ 處。

這裡的任何評估都在 walk-forward optimization 紀律下運行——$\lambda$ 是超參數，在完整樣本上調整的 $\lambda$ 不是結果。

生產實用技巧

1. 預熱先驗。 使用變分推理時，從預訓練的確定性網絡初始化變分均值，而不是隨機。通常將收斂時間減半。

2. 注意方差坍縮。 學習的方差 $\sigma_j$ 可能漂移到接近零，悄悄將 BNN 恢復為確定性網絡。在訓練期間監視平均 $\sigma_j$；如需要添加 KL 退火。

3. 在滾動基礎上重新校準，而不是固定驗證集。 市場是非平穩的，一次 fit 的校準會衰減。要在 walk-forward 紀律下的滾動窗口上 retrain，或讓 ACI 在線吸收模型過時——conformal 帖子直接涵蓋了 retraining 頻率權衡。

4. 集成多樣性很重要。 不同的種子，不同的洗牌，可選每個成員的不同超參數。初始化多樣性是集成質量的主要驅動因素，這就是為什麼上面的 fit() 循環不是可選的。

5. 記錄分解，而不僅是總數。 將兩個分量與實際結果一起存儲。沒有這個，你無法回答審查中唯一重要的問題：當 sizer 削減暴露時，是因為市場喧鬧還是因為模型迷失——以及它是否正確？

6. 不確定性作為特徵。 滾動認識統計本身可能預測回撤。合理，未測量，值得單獨的文章。

限制和誠實警告

• 近似後驗仍然是近似。 MC Dropout 和 VI 對真正後驗的視角有限。比沒有好，不是基本事實，兩者都沒有附加覆蓋保證。
• 校準正是你需要時惡化。 在真正的新 regime 中，模型可能仍然未校準——它只是傾向於比確定性模型更少未校準。來自外部分佈輸入的不確定性估計本身就是外部分佈輸出。
• 對立方差可以吸收認識信號。 如果異方差頭足夠靈活，它學會將模型不確定性解釋為數據噪聲，將 $\sigma_{\text{epi}}$ 坍縮到零並悄悄擊敗整個分解。這是這篇文章中最重要的失敗模式，它不會自己宣布。跨 regime 監視比率；從不移動的比率是分解損壞，而不是穩定的市場。
• $\lambda$ 是一個自由參數。 將可調整的旋鈕引入 sizing 規則是構建 overfit sizing 規則的方式。它需要 walk-forward 正當性或需要固定在 1。

結論

Conformal prediction 已經為這個博客提供了帶有覆蓋保證的區間寬度，Kelly 已經為它提供了 sizing 規則。兩者都沒有給出為什麼區間寬的答案。將預測方差分解為認識和對立部分回答了這一點，答案是總數不是的方式：市場噪聲是補償風險，模型無知不是，sizing 分母應該這麼說。

MC Dropout 使分解幾乎免費——推理時的一行（model.train()）將任何 dropout 網絡變成近似貝葉斯。深度集成成本 $M$x 並校準得更好。兩者都提供相同的不對稱分母 $\sigma^2_{\text{alea}} + \lambda \sigma^2_{\text{epi}}$。

$\lambda > 1$ 是否真的支付是這個草稿尚未回答的實證問題。上面列出的測量是發布它的代價。

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參考文獻：

• Blundell, C., Cornebise, J., Kavukcuoglu, K., & Wierstra, D. (2015). Weight Uncertainty in Neural Networks. ICML.
• Gal, Y. & Ghahramani, Z. (2016). Dropout as a Bayesian Approximation: Representing Model Uncertainty in Deep Learning. ICML.
• Lakshminarayanan, B., Pritzel, A., & Blundell, C. (2017). Simple and Scalable Predictive Uncertainty Estimation using Deep Ensembles. NeurIPS.
• Kendall, A. & Gal, Y. (2017). What Uncertainties Do We Need in Bayesian Deep Learning for Computer Vision? NeurIPS.
• Gibbs, I. & Candes, E. (2021). Adaptive Conformal Inference Under Distribution Shift. NeurIPS.
• Kelly, J. L. (1956). A New Interpretation of Information Rate. Bell System Technical Journal.