Uniswap v3 для квантов: концентрированная ликвидность и математика тиков с нуля

Позиция LP в Uniswap v3 — это замаскированный диапазонный ордер из книги лимитных заявок. Внесите ликвидность между двумя ценами — и вы обязались покупать актив по мере его падения через ваш диапазон и продавать по мере роста, ровно то, что делает сетка отложенных лимитных ордеров на CLOB. Но контракт не хранит ни цен, ни количеств, ни книги ордеров. Он хранит три числа: квадратный корень из цены в формате с фиксированной точкой Q64.96, целочисленный индекс тика и агрегированное значение ликвидности $L$. Если вы хотите рассуждать о позиции v3 так же, как вы рассуждали бы о котировках в модели маркетмейкинга — инвентарь, цены исполнения, неблагоприятный отбор, — вам нужно уметь переводить между этими ончейн-примитивами и торговыми концепциями, которые они кодируют. Эта статья строит такой перевод с нуля, следуя вайтпейперу Uniswap v3 (Adams, Zinsmeister, Salem, Keefer, Robinson, 2021) и основным контрактам, и заканчивается там, где сейчас начинается любое серьезное обсуждение LP: loss-versus-rebalancing.

От x·y = k к виртуальным резервам

Uniswap v2 — это маркетмейкер с постоянным произведением: пул держит резервы $x$ токена0 и $y$ токена1 и на каждом свапе поддерживает

Маржинальная цена токена0 в единицах токена1 равна $P = y/x$, а ликвидность равномерно размазана по всей ценовой оси $(0, \infty)$. Это крайне неэффективно по капиталу: пара стейблкоинов, торгующаяся между 0.999 и 1.001, держит более 99% своего капитала на ценах, которые никогда не напечатаются.

Ход v3 состоит в том, чтобы позволить каждому LP ограничить свой капитал диапазоном $[p_a, p_b]$. Внутри диапазона позиция должна вести себя ровно как пул v2 — та же бондинг-кривая, то же маржинальное ценообразование, — но используя только те резервы, которые нужны для покрытия этого диапазона. Вайтпейпер формализует это через виртуальные резервы: позиция ведет себя так, будто держит резервы в стиле v2 $(x_v, y_v)$, лежащие на кривой $x_v \cdot y_v = L^2$, тогда как реальные резервы — это виртуальные минус то, что позиция держала бы на границах диапазона:

Это уравнение 2.2 вайтпейпера, и это единственное самое важное уравнение в v3. Сдвинутая кривая касается осей: при $P = p_b$ реальный резерв $x$ достигает нуля (позиция на 100% в токене1), а при $P = p_a$ реальный резерв $y$ достигает нуля (100% токена0). За пределами диапазона позиция становится инертной — фиксированный набор одного токена, не приносящий ничего.

Параметр $L$, называемый ликвидностью, — это инвариант, заменяющий $k$. Он определяется как $L = \sqrt{k}$, и у него есть чистая интерпретация, которую вайтпейпер делает явной: ликвидность — это "виртуальные резервы на единицу квадратного корня из цены". При любой цене $P$ внутри диапазона виртуальные резервы равны

Почему переменная состояния — это √P

Ядро v3 не отслеживает цену. Оно отслеживает $\sqrt{P}$, хранимую как sqrtPriceX96 — беззнаковое число с фиксированной точкой Q64.96:

где $P$ — сырая цена: базовые единицы токена1 на базовую единицу токена0, с учетом десятичных знаков (об этом ниже). Причина использования квадратного корня — не экономия газа, а алгебра. Продифференцируйте тождества для виртуальных резервов, и вы получите два фундаментальных уравнения свапа, реализованных в библиотеке SqrtPriceMath:

Обе дельты токенов линейны по квадратному корню из цены (или обратному ему), с $L$ в роли коэффициента пропорциональности. Поэтому свап внутри одного тика не требует ни обращения кривой, ни итераций Ньютона — только одно умножение, чтобы сдвинуть $\sqrt{P}$, затем два умножения, чтобы вычислить суммы. Когда свап достаточно велик, чтобы толкнуть цену через инициализированный тик, пул пересекает его, добавляет или убирает чистую ликвидность, привязанную к нему (liquidityNet), и продолжает с новым агрегированным $L$. Глобально пул — это кусочно-постоянно-произведенческий AMM: постоянное $L$ между инициализированными тиками, скачки на тиках.

Для маркетмейкера это правильная ментальная модель: профиль агрегированной ликвидности пула $L(P)$ — это DEX-эквивалент глубины книги ордеров. Где глубина CLOB котируется в единицах на ценовой уровень, глубина AMM — это $L$ на тик, и перевод — это ровно тождество $\Delta y = L\Delta\sqrt{P}$ выше.

Тики: логарифмически размеченная ценовая сетка

Диапазоны не могут начинаться и заканчиваться на произвольных ценах; они должны прилипать к тикам. Тик $i$ соответствует цене

так что каждый тик отстоит от соседей на один базисный пункт — не в абсолютном, а в относительном выражении. Эта логарифмическая разметка сделана намеренно: фиксированная аддитивная сетка была бы абсурдно грубой для токена, торгующегося по $0.0001, и абсурдно мелкой при $100{,}000, тогда как геометрическая сетка дает равномерное разрешение 1 б.п. на любом ценовом масштабе. Библиотека TickMath конвертирует в обе стороны — getSqrtRatioAtTick и getTickAtSqrtRatio — используя битовые операции над предвычисленными константами вместо вызова экспоненты. Индексы тиков ограничены значениями MIN_TICK = -887272 и MAX_TICK = 887272, что покрывает ценовой диапазон $[2^{-128}, 2^{128}]$: достаточно широкий для любой пары токенов, которая может существовать в арифметике uint256.

Не всякий тик пригоден к использованию. Каждый уровень комиссии накладывает шаг тика, и позиции могут использовать только тики, кратные ему:

Уровни 0.05%/0.30%/1% появились на запуске в мае 2021 года; уровень 0.01% был добавлен голосованием управления в ноябре 2021 года. Более грубый шаг на пулах с высокой комиссией удерживает число потенциально пересекаемых тиков и газовые затраты на свап в ограниченных рамках.

Одна ловушка десятичных знаков, на которую однажды попадается каждый: сырая ончейн-цена — это токен1 на токен0 в базовых единицах. В майннет-пуле USDC/WETH токен0 — это USDC (6 знаков), а токен1 — WETH (18 знаков), так что человеческая цена $3{,}000 за ETH соответствует сырой цене $10^{12}/3000 \approx 3.333 \times 10^{8}$ WETH-wei на единицу USDC, которая живет на тике

с $\texttt{sqrtPriceX96} \approx 1.4465 \times 10^{33}$. Если ваш дашборд мониторинга показывает тик около 196k для USDC/WETH, теперь вы знаете почему — и что человеческая цена равна $\left(\texttt{sqrtPriceX96}/2^{96}\right)^2 \cdot 10^{\,\text{dec}_0 - \text{dec}_1}$ с обращением по необходимости.

Количества токенов из (L, ценового диапазона): точные формулы

Основной результат этого раздела: дана позиция с ликвидностью $L$ на $[p_a, p_b]$ и текущей ценой $P$ — что она держит? Интегрирование уравнений свапа по диапазону дает три случая:

Цена ниже диапазона ($P \le p_a$) — позиция на 100% в токене0:

Цена выше диапазона ($P \ge p_b$) — позиция на 100% в токене1:

Цена внутри диапазона ($p_a < P < p_b$):

Это ровно то, что вычисляют SqrtPriceMath.getAmount0Delta и getAmount1Delta (с направленным округлением — контракт всегда округляет против пользователя, деталь, которая важна, если вы воспроизводите это в бэктестере и удивляетесь расхождениям на уровне wei).

from math import sqrt

def position_amounts(L: float, pa: float, pb: float, P: float):
    """Token amounts held by a v3 position (float model; core uses Q96 ints)."""
    sa, sb, sp = sqrt(pa), sqrt(pb), sqrt(P)
    if P <= pa:
        return L * (1/sa - 1/sb), 0.0
    if P >= pb:
        return 0.0, L * (sb - sa)
    return L * (1/sp - 1/sb), L * (sp - sa)

Разобранный пример: ETH/USDC, диапазон [2500, 3500]

Предположим, ETH торгуется по $P = 3000$ USDC, и вы хотите внести 1 ETH в диапазон $[2500, 3500]$. Квадратные корни: $\sqrt{2500} = 50$, $\sqrt{3000} = 54.7723$, $\sqrt{3500} = 59.1608$.

Плечо ETH фиксирует $L$:

Плечо USDC тогда следует из:

Итак, минтинг этой позиции требует 1 ETH + 3,523.69 USDC, общей стоимостью $6,523.69, и обратите внимание, что плечи не 50/50 — распределение зависит от того, где $P$ сидит внутри диапазона (асимметричный диапазон — это ровно способ выразить направленный взгляд или разместить чистый "диапазонный ордер" одним токеном).

Теперь проведем цену к границам:

• При $P = 2500$ позиция полностью конвертировалась в ETH: $x = 738.37 \times (1/50 - 1/59.1608) = 2.2867$ ETH стоимостью $5,716.68. Вы купили 1.2867 ETH по мере падения по средневзвешенной по ликвидности цене 3523.69 / 1.2867 \approx \2{,}739$.
• При $P = 3500$ она полностью конвертировалась в USDC: $y = 738.37 \times (59.1608 - 50) = 6{,}764.06$ USDC. Вы продали свой ETH по мере роста в среднем по $3,240.

Вот прочтение диапазонного ордера, доведенное до конкретики: позиция и есть лестница бидов от 3000 вниз до 2500 и асков от 3000 вверх до 3500, с размером на тик, пропорциональным $L$. И концентрация — это то, за что вам платят: полнодиапазонная позиция в стиле v2 с теми же $6,523.69 капитала имела бы $L_{v2} = V/(2\sqrt{P}) = 59.55$ — концентрированная позиция котирует в 12.4× больше глубины на тик и (пока в диапазоне) зарабатывает комиссии по ставке в 12.4× выше на доллар капитала.

Учет комиссий: feeGrowthGlobal и feeGrowthInside

Комиссии v3 не капитализируются в позицию (намеренный разрыв с v2, где комиссии реинвестировались в $\sqrt{k}$). Они накапливаются рядом, по каждому токену, и этот учет — маленький шедевр бухгалтерии за $O(1)$, который стоит понять, потому что каждый пайплайн LP-аналитики переизобретает его.

Пул поддерживает два глобальных аккумулятора, feeGrowthGlobal0X128 и feeGrowthGlobal1X128: кумулятивные комиссии на единицу ликвидности с момента создания пула, в формате с фиксированной точкой Q128.128. На каждом свапе сумма комиссии (взятая из входного токена) делится на текущую в-диапазоне $L$ и добавляется к аккумулятору. Это механизм, лежащий за кардинальным правилом экономики v3: комиссии начисляются только той ликвидности, которая находится в диапазоне в момент свапа. Позиции вне диапазона — не просто инертный инвентарь: они зарабатывают ровно ноль, пока неактивны.

Чтобы приписать нужную часть глобального роста конечному диапазону, каждый инициализированный тик $i$ хранит feeGrowthOutside0/1X128 — рост комиссий, произошедший по другую сторону тика относительно текущей цены (значение переворачивает интерпретацию каждый раз, когда тик пересекается, что и делает схему $O(1)$). Тогда для позиции на $[i_\ell, i_u]$ с текущим тиком $i_c$:

Каждая позиция хранит снимок feeGrowthInsideLast, и несобранные комиссии — это просто

обновляемые лениво всякий раз, когда позицию трогают. Два практических следствия. Первое: дельты feeGrowthInside — единственный честный способ измерить комиссионный доход позиции — семплирование объема на уровне пула и пропорциональное деление по вашей доле TVL дает неверный результат всякий раз, когда цена бродит вокруг границ вашего диапазона. Второе: поскольку комиссии сидят как tokensOwed, а не капитализируются, реализованная доходность LP имеет член денежного простоя, которого не было у v2; хранилища с автокапитализацией существуют именно для того, чтобы арбитражить это (минус их собственная комиссия).

Выплата: короткий стрэддл, за удержание которого вам платят (может быть)

Внутри диапазона стоимость позиции как функция цены равна

Вогнута по $P$ — член $2L\sqrt{P}$ и есть вся суть. За пределами диапазона она становится линейной: наклон $x(p_a)$ снизу (вы в лонге по фиксированному набору ETH), наклон 0 сверху (вы во флэте в USDC). Прогоним наш разобранный пример по диапазону и сравним с простым удержанием внесенных токенов:

LP отстает от HODL в обоих направлениях и совпадает с ним только по цене минтинга. Ограниченный апсайд, усиленное участие в даунсайде, максимальная относительная стоимость на страйке... это выплата короткого стрэддла (точнее, когда линейные хвосты вычитаются из бенчмарка HODL, короткая позиция в наборе опционов со страйками, разложенными по $[p_a, p_b]$). Поток комиссий — это премия. Концентрация диапазона — это выбор более узких страйков: больше премии на единицу времени, пока в диапазоне, более быстрое и глубокое расхождение при движении цены. Каждый LP в v3 — трейдер с короткой волатильностью, хотел он этого или нет — ончейн-собрат компромисса инвентарного риска, который Avellaneda–Stoikov формализует для маркетмейкеров книги ордеров, где ширина диапазона играет роль котируемого спреда.

Традиционное название разрыва в этой таблице — непостоянная (дивергентная) потеря, но IL-против-HODL — ущербный бенчмарк: он смешивает потерю, которую вы понесли как поставщик ликвидности, с рыночным риском, который вы несли бы в любом случае. Более резкое разложение приходит от Milionis, Moallemi, Roughgarden и Zhang (2022), "Automated Market Making and Loss-Versus-Rebalancing" (arXiv:2208.06046). Оценивайте LP не против HODL, а против ребалансирующего портфеля, который держит в каждый момент те же количества токенов, что и пул, но торгует по бесфрикционной внешней рыночной цене, а не против арбитражеров. Разница — это LVR ("левер"): компонент P&L LP, который является чистым неблагоприятным отбором, выплачиваемым арбитражерам, снимающим устаревшие котировки AMM после каждого движения цены. При геометрически-броуновской цене с волатильностью $\sigma$ LVR накапливается с мгновенной скоростью

— "формула Блэка–Шоулза для AMM", как выражаются авторы, где $|x'(P)|$ — маржинальная глубина пула при текущей цене. Для полнодиапазонного пула с постоянным произведением это сворачивается в знаменитые $\frac{\sigma^2}{8}$ от стоимости пула на единицу времени: при 5% дневной волатильности примерно 3.1 б.п. пула утекает арбитражерам каждый день, есть комиссии или нет. Концентрация умножает $|x'(P)|$ — наш пример с 12.4× глубины выше — это также ~12.4×-машина LVR, пока в диапазоне. Комиссии должны обгонять эту утечку, чтобы позиция была +EV, и LVR (в отличие от "IL") — хеджируемая, предсказуемая текущая издержка, что и делает его правильной единицей учета. Полное исчисление прибыльности — комиссионный APR против LVR против реализованной волатильности, когда LP-провайдинг обыгрывает дельта-хеджированные короткие опционы, — это тема предстоящего глубокого разбора непостоянной потери и LVR, а механика хеджирования получает отдельный разбор в стратегиях LP для v3 и хеджировании.

Еще одна издержка живет уровнем ниже: поскольку котировки AMM обновляются только когда кто-то торгует, каждая позиция LP также подвержена мемпул-играм, разыгрываемым вокруг этих сделок — сэндвич-атакам против свапперов, которые платят ваши комиссии, и арбитражным бандлам, реализующим ваш LVR блок за блоком. Эта экосистема разобрана в статье про MEV и сэндвич-атаки.

Чтение состояния пула ончейн

Все вышеизложенное наблюдаемо из трех дешевых вызовов к контракту пула.

slot0() упаковывает горячее состояние в один слот хранилища: sqrtPriceX96, текущий tick, индексы наблюдений оракула и флаги протокольной комиссии/блокировки. liquidity() возвращает текущее в-диапазоне агрегированное $L$ — заметьте, это не TVL; это параметр глубины, активный на текущем тике, и он скачкообразно меняется, когда цена пересекает инициализированный тик. ticks(int24) возвращает состояние на тик: liquidityGross (полное $L$, ссылающееся на тик), liquidityNet (знаковое $L$, добавляемое при пересечении слева направо) и аккумуляторы feeGrowthOutside. Итерирование liquidityNet по инициализированным тикам (tickBitmap говорит вам, какие из них существуют, без сканирования всех 1.7 миллиона) реконструирует полный профиль глубины $L(i)$ — ваш снимок книги ордеров.

from web3 import Web3

w3 = Web3(Web3.HTTPProvider(RPC_URL))
pool = w3.eth.contract(address=POOL, abi=POOL_ABI)  # USDC/WETH 0.05%

sqrt_price_x96, tick, *_ = pool.functions.slot0().call()
L = pool.functions.liquidity().call()

raw_price = (sqrt_price_x96 / 2**96) ** 2          # token1/token0, base units
eth_usdc  = 1 / (raw_price * 10**(18 - 6))          # human USDC per ETH
depth_1tick = L * (1.0001**0.5 - 1) * (sqrt_price_x96 / 2**96)

Сами позиции живут в двух местах. Основной пул ключует их по (owner, tickLower, tickUpper) — один агрегированный слот на тройку владелец-диапазон. Ритейл и большинство фондов вместо этого минтят через периферийный NonfungiblePositionManager (майннет: 0xC36442b4a4522E871399CD717aBDD847Ab11FE88), который оборачивает каждую позицию в ERC-721 NFT и предоставляет positions(tokenId), возвращающий полный кортеж: токены, уровень комиссии, диапазон, $L$, feeGrowthInsideLast и tokensOwed. Для мониторинга портфеля этот один вызов плюс текущий feeGrowthInside пула (пересчитанный из ticks(), как в предыдущем разделе) дают вам оценку по рынку и накопленные комиссии, не трогая индексер — хотя для чего-либо исторического вам понадобится повтор событий свапа или сабграф, потому что рост комиссий зависит от пути, а сеть хранит только текущие аккумуляторы.

Две операционные детали, которые стоит усвоить перед развертыванием капитала. Первое: шаг тика квантует ваше пространство стратегий: на уровне 0.05% вы можете размещать диапазоны шириной 10 б.п. и запускать нечто близкое к настоящему лимитному ордеру (заминтить чуть выше/ниже спота, собрать комиссию, сжечь после пересечения — вайтпейпер явно формулирует этот сценарий "диапазонного ордера"), тогда как на уровне 1% ваш минимальный диапазон ~2% шириной, и аналогия с LOB становится грубой. Второе: диапазонный ордер — это лимитный ордер без приоритета отмены: если цена пересекает ваш диапазон и возвращается, вы прогоняете инвентарь туда-обратно и отдаете эдж (сохраняя комиссии). Пассивные диапазоны — это котировки, которые вы не можете снять, что ровно и есть причина, почему вопрос частоты ребалансировки и линза LVR для ответа на него так важны.

К чему это вас приводит

Стек v3, сжатый: цены — это тики на геометрической сетке 1.0001; глубина — это $L$, конвертируемое в количества токенов не более чем через разности квадратных корней; комиссии — это аккумулятор на единицу $L$, который вы дифференцируете по границам вашего диапазона; а получающаяся позиция — это диапазонный ордер с короткой волатильностью, текущая издержка которого имеет имя, формулу и arXiv-номер. С примитивами на руках интересные вопросы становятся количественными: насколько широко, как часто ребалансировать и клирят ли комиссии LVR для данного пула и режима — что ровно туда, куда эта серия идет дальше.

Ссылки

• Adams, H., Zinsmeister, N., Salem, M., Keefer, R., Robinson, D. (2021). Uniswap v3 Core (whitepaper).
• Uniswap v3 core libraries: TickMath.sol, SqrtPriceMath.sol, Position.sol, Tick.sol.
• Milionis, J., Moallemi, C., Roughgarden, T., Zhang, A. L. (2022). Automated Market Making and Loss-Versus-Rebalancing. arXiv:2208.06046.