GARCH(1,1): Kripto Volatilitesini Tahmin Etmek

BTC gunluk getirilerinin bir grafigini acin ve rastgele yuruyus konusundaki ders kitaplarinin sizi asla hazirlamadigi bir seyi fark edeceksiniz: sakinlik ve kaos kumeler halinde gelir. Yuzde 6'lik bir dusus gunu nadiren yalniz olur. Yuzde 4-8 arasi salinimlarla dolu bir haftanin icinde yer alir, sonra piyasa nefes verir ve bir sonraki firtinadan once uykulu yuzde 1'lik seanslarla dolu bir ay boyunca surukleneir. Getirilerin kendisi neredeyse ongorulemez gorunur — yarinin yukari mi asagi mi olacagini guvenilir bicimde soyleyemezsiniz — ama onlarin buyuklugu derinlemesine ongorulebilirdir. Bugunun calkantisi size yarin hakkinda cok sey soyler.

Bir traderin basvurdugu neredeyse her risk aracinin sessizce varsaydigi sey bunun dogru olmadigidir. Black-Scholes, bir opsiyonu tek bir sabit $\sigma$ ile fiyatlandirir. Statik bir Value-at-Risk sayisi, tek bir volatilite tahminini normal bir kuantil ile carpar. Sabit yuzde 3'luk bir stop-loss, olu ve yatay bir Sali gunuyle bir FOMC aciklamasi ya da buyuk bir borsada peg kopmasi cevresindeki saatleri sanki ayni riski tasiyorlarmis gibi ele alir. Bunlarin her biri tam olarak ayni sekilde bozulur: zamanla degisen bir buyuklugu bir sabite indirger ve sonra o sabitin hareket ettigi ortaya cikinca saskina doner.

Bu makale, kripto icin volatilite modellemesi uzerine dort bolumluk bir dizinin 1. Bolumu'dur. Temeli insa eder: GARCH(1,1) modeli, kripto getirilerine neden bu kadar iyi uydugu, arch kutuphanesiyle maksimum olabilirlik yontemiyle nasil durustce tahmin edilecegi ve bir kosullu varyans tahmininin hemen kullanislaci iki seye nasil donusturulecegi — piyasayla birlikte nefes alan bir pozisyon boyutu ve bir stop genisligi. 2. Bolum asimetri ve agir kuyruklar ekler, 3. Bolum cok degiskenli hale gelir ve 4. Bolum tam volatilite hedefleme backtestini bir araya getirir. Buradaki uygulamayi kasitli olarak basit tutuyoruz; durust, ileri yonlu dogrulanmis strateji 4. Bolum'un konusudur.

Kripto Getirilerinin Uslupsal Gercekleri

Herhangi bir sey modellemeden once, neyi yeniden uretmeye calistigimiz konusunda kesin olmakta fayda var. Ampirik finansal getiriler — hisse senetleri, doviz ve ozellikle kripto — onlarca yildir belgelenen kucuk bir dizi saglam istatistiksel duzenliligi paylasir. Bunlar genellikle uslupsal gercekler olarak adlandirilir ve bunlardan uctanesi bundan sonraki her seyi yonlendirir.

1. Volatilite kumelenmesi. Buyuk hareketleri (her iki isaretten de) buyuk hareketler izleme egilimindedir ve kucuk hareketleri kucuk hareketler izler. Mandelbrot bunu 1963'te pamuk fiyatlarinda fark etti. Bicimsel olarak, $r_t$ getirileri seri olarak neredeyse korelasyonsuzken, kareli getiriler $r_t^2$ (gerceklesen varyansin bir vekili) guclu, yavas azalan pozitif otokorelasyon gosterir.

2. Kalin kuyruklar (leptokurtosis). Getirilerin kosulsuz dagilimi, ucnoktalarda bir Gauss dagilimindan cok daha fazla kutleye sahiptir. Normal bir dagilimin basikligi 3 iken, BTC gunluk logaritmik getirileri rutin olarak 8-10'un uzerinde oturur ve daha yuksek frekansli kripto getirileri daha kotu olabilir. Normal bir modelin kabaca milyon yilda bir olmasi gerektigini soyledigi alti-sigmalik gunler, on yilda birkac kez ortaya cikar.

3. Getirilerde dogrusal otokorelasyon yok, kareli getirilerde guclu otokorelasyon var. Bu, gercek bir volatilite surecini onemsiz bir trendden ayiran parmak izidir. $r_t$'yi kendi gecikmeleri uzerine regresyona sokarsaniz, sömürulebilir hicbir sey elde edemezsiniz. $r_t^2$'yi gecikmeleri uzerine regresyona sokarsaniz, net, kalici bir sinyal bulursunuz. Bu tam olarak bir varyans modelinin yakalamasi gereken yapidir — ve tam olarak sabit-$\sigma$ modelinin firlatip attigi seydir.

Bu ucunu de birkac satirda gozlemleyebiliriz. Burada hicbir sey ozel bir veri kaynagi gerektirmez; uretimde ccxt kullanin, ama yeniden uretilebilir bir kod parcasi icin yfinance uygun.

import numpy as np
import pandas as pd
import yfinance as yf
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf
from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox
from scipy import stats

px = yf.download("BTC-USD", start="2021-01-01", end="2025-12-31")["Close"]
ret = np.log(px / px.shift(1)).dropna()          # log returns
ret = ret.rename("btc")

print(f"Observations:     {len(ret)}")
print(f"Ann. volatility:  {ret.std() * np.sqrt(365):.2%}")
print(f"Skewness:         {stats.skew(ret):.2f}")
print(f"Excess kurtosis:  {stats.kurtosis(ret):.2f}")   # 0 == Gaussian

lb_ret  = acorr_ljungbox(ret,        lags=[10], return_df=True)
lb_ret2 = acorr_ljungbox(ret ** 2,   lags=[10], return_df=True)
print("\nLjung-Box p-value, returns   (lag 10):", float(lb_ret["lb_pvalue"].iloc[0]))
print("Ljung-Box p-value, squared   (lag 10):", float(lb_ret2["lb_pvalue"].iloc[0]))

Tipik okuma (aciklayici — sizin pencereniz farkli olacaktir): 3'un cok uzerinde bir fazla basiklik, ham getirilerde no autocorrelation hipotezini reddedemeyen bir Ljung-Box p-degeri ve kareli getirilerde etkin bicimde sifir olan bir p-degeri. Bu son karsitlik isin tamamidir. Gunluk ufukta getirilerin isaretinde islem yapilacak hicbir sey yoktur, ama onlarin varyansinda buyuk miktarda yapi vardir ve bu yapi tahmin edilebilirdir.

Kriptonun 7/24 dogasi hakkinda bir not. Hisse senetlerinin aksine, gece boslugu ve hafta sonu kapanisi yoktur, dolayisiyla gun temiz bir 24 saatlik bardir ve yillustirma faktoru $\sqrt{252}$ degil, $\sqrt{365}$'tir. Volatilite kumelenmesi gun ici olceklerde de hayatta kalir; bu, GARCH'i saatlik barlarda calistiriyorsaniz onemlidir — fonlama orani terslenmeleri ve tasfiye zincirleri, gunluk bir modelin duzelestirdigi keskin, kumeli varyans patlamalari enjekte eder.

ARCH'tan GARCH'a

Sorun artik keskin bicimde ortaya konmustur: sabit olmayan ama yakin gecmise bagli bir varyansi modellemek. Bunu duzgunce yapan ilk model, Engle'in 1982'de gelistirdigi ve 2003'te ona Nobel odulu kazandiran ARCH'iydi (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity).

Getiriyi bir kosullu ortalama arti bir sok olarak yazin:

$r_t = \mu_t + \varepsilon_t, \qquad \varepsilon_t = \sigma_t z_t, \qquad z_t \sim \text{i.i.d. } (0, 1)$

Burada $\sigma_t^2$, kosullu varyanstir — $t-1$ zamanina kadar bilinen her sey verildiginde $r_t$'nin varyansi — ve $z_t$ standartlastirilmis bir yeniliktir (en basit durumda standart normal). Tum isi yapan kelime kosullu kelimesidir: kosulsuz olarak varyans sabit olabilir, ama dune kosullandirildiginda hareket eder.

Engle'in ARCH($q$)'si, bugunun varyansini son $q$ kareli sokun agirlikli bir toplami yapar:

$\sigma_t^2 = \omega + \sum_{i=1}^{q} \alpha_i \, \varepsilon_{t-i}^2$

varyansi pozitif tutmak icin $\omega > 0$ ve $\alpha_i \ge 0$ ile. Bu, kumelenmeyi dogrudan yakalar: buyuk bir sok $\varepsilon_{t-1}^2$, $\sigma_t^2$'yi yukari iter, bu da baska bir buyuk sok olasiligini artirir, bu da varyansi yuksek tutar. Sorun ampirik azalmadir. Gercek piyasalarda volatilite kaliciligi bircok gecikme boyunca uzanir, dolayisiyla buna uyum saglamak icin bir ARCH modeli buyuk bir $q$'ya ihtiyac duyar — cogu zaman 8, 10 veya daha fazla — ve bu, uzun, kararsiz bir $\alpha_i$ vektorunu tahmin etmek anlamina gelir ki bu da asiri uyum saglama egilimindedir.

Bollerslev'in 1986'daki icgorusu, tum o kaliciligi tek bir parametreyle emen bir terim eklemekti. GARCH(1,1) — Generalized ARCH — ozyinelemesi sudur:

$\sigma_t^2 = \omega + \alpha \, \varepsilon_{t-1}^2 + \beta \, \sigma_{t-1}^2$

Uc parametre, uc temiz yorum:

• $\omega > 0$ — taban veya zemin. Varyansin uzun vadeli seviyesini demirleyen bir sabit. Varyans asla $\omega$'nin destekledigi seviyenin altina inmez.
• $\alpha \ge 0$ — habere karsi tepki. Varyansin dunun surprizi $\varepsilon_{t-1}^2$'ye ne kadar siddetle yanit verdigi. Buyuk bir $\alpha$, kosullu varyansin sicramali ve soklara duyarli oldugu anlamina gelir.
• $\beta \ge 0$ — kalicilik veya bellek. Dunun varyansinin ne kadarinin bugune tasindigi. Buyuk bir $\beta$, volatilitenin puruzsuz ve yavas solduguni gosterir — sakinlik sakin kalir, firtinalar firtinali kalir.

Zarafet ozyinelemededir. $\sigma_{t-1}^2$'nin kendisi bir $\beta \sigma_{t-2}^2$ terimi icerdiginden, geriye dogru genisletmek GARCH(1,1)'in gecmis kareli soklar uzerinde geometrik olarak azalan agirliklar $\alpha \beta^{k}$ ile bir ARCH($\infty$) oldugunu gosterir:

$\sigma_t^2 = \frac{\omega}{1-\beta} + \alpha \sum_{k=0}^{\infty} \beta^{k}\, \varepsilon_{t-1-k}^2$

Yani tek bir $\beta$, size gecmis soklarin sonsuz, ustel agirlikli bir bellegini kazandirir. GARCH(1,1)'in — uc parametre — rutin olarak on parametreli ARCH modellerini gecmesinin ve uygulamali volatilite modellemesinin is atina donusmesinin nedeni budur. Aslinda, RiskMetrics EWMA varyans tahmincisinin yakin bir kuzenidir; bu tahminci $\omega = 0$, $\alpha + \beta = 1$ ve $\beta$'nin 0.94'te sabitlendigi ozel durumdur. GARCH bunu, verinin $\alpha$, $\beta$ ve gercek bir ortalamaya donus seviyesini secmesine izin vererek genellestirir.

Ozellikler: Duraganlik, Uzun Vadeli Varyans ve Yari Omur

GARCH(1,1) ozyinelemesinin, turetilmeye deger birkac ozelligi vardir, cunku bunlar modeli korlemesine uyarlamak yerine onun uzerine akil yurutmenizi saglayan seylerdir.

Kosulsuz (uzun vadeli) varyans. Surecin kovaryans-duragan oldugunu varsayin, boylece kosulsuz varyans $\bar{\sigma}^2 = \mathbb{E}[\varepsilon_t^2] = \mathbb{E}[\sigma_t^2]$ mevcut ve zamanla sabit olsun. Ozyinelemenin her iki tarafinin beklentisini alin. $\mathbb{E}[\varepsilon_{t-1}^2] = \mathbb{E}[\sigma_{t-1}^2] = \bar{\sigma}^2$ oldugundan:

$\bar{\sigma}^2 = \omega + \alpha\, \bar{\sigma}^2 + \beta\, \bar{\sigma}^2 \;\;\Longrightarrow\;\; \bar{\sigma}^2 = \frac{\omega}{1 - \alpha - \beta}$

Bu, volatilitenin ortalamaya donus yaptigi seviyedir. Yalnizca $\alpha + \beta < 1$ oldugunda mevcuttur — ve yalnizca o zaman pozitiftir.

Duraganlik kosulu. Ayni esitsizlik,

$\alpha + \beta < 1,$

GARCH(1,1) icin kovaryans-duraganlik kosuludur. $\alpha + \beta$ niceligi, varyans surecinin kaliciligidir: bir varyans sokunun $\bar{\sigma}^2$'ye geri nasil azaldigini yoneten AR(1) katsayisidir. $\alpha + \beta \ge 1$ ise, kosulsuz varyans sonsuzdur (veya tanimsizdir) ve soklar asla tamamen olmez.

Ortalamaya donusu acikca gorebiliriz. Varyans sapmasini $\sigma_t^2 - \bar{\sigma}^2$ olarak tanimlayin. Ozyineleme uzerinde biraz cebir ($\omega = \bar{\sigma}^2(1 - \alpha - \beta)$ yerine koyarak), beklentide sunu verir:

$\mathbb{E}_t[\sigma_{t+k}^2] - \bar{\sigma}^2 = (\alpha + \beta)^{k}\,\bigl(\sigma_{t+1}^2 - \bar{\sigma}^2\bigr)$

Mevcut varyans ile uzun vadeli seviyesi arasindaki fark, her adimda $(\alpha + \beta)$ faktoru kadar kuculur. Bu, daha sonra kullandigimiz cok adimli tahminin tam olarak kendisidir.

Volatilite yari omru. Bir varyans sokunun yariyoluna, normale geri azalmasi ne kadar surer? $(\alpha+\beta)^{h} = 1/2$ ayarlayin ve cozun:

$h_{1/2} = \frac{\ln 0.5}{\ln(\alpha + \beta)}$

$\alpha + \beta = 0.95$ icin yari omur yaklasik 13.5 gundur; $0.98$ icin yaklasik 34 gun; $0.99$ icin yaklasik 69 gundur. Bu tek sayi, cogu zaman ham parametrelerden daha sezgiseldir — barlarinizin birimleri cinsinden, volatilitenin ne kadar yapiskan oldugunu soyler.

Kriptoda IGARCH'a-yakin sorunu. Iste kriptoya ozgu puruz. GARCH(1,1)'i BTC veya ETH getirilerine uyarladiginizda, neredeyse her zaman $\alpha + \beta$'yi 1'e cok yakin bulursunuz — 0.98, 0.99, bazen 0.995 degerleri rutindir. Bu, IGARCH'a-yakin (Integrated GARCH) rejimidir. Gercek sonuclari vardir:

• Yari omur muazzam hale gelir (haftalardan aylara), boylece model volatiliteyi cok kalici ve ortalamaya cok az donen olarak ele alir.
• $\bar{\sigma}^2 = \omega/(1-\alpha-\beta)$ tahmini son derece duyarli hale gelir: $\alpha+\beta$'nin 0.99'dan 0.995'e kucuk bir degisimi, ima edilen uzun vadeli varyansi ikiye katlar. Bu rejimde uzun vadeli volatilitenin nokta tahminine asla bir guven araligi olmadan guvenmeyin.
• Cok adimli tahminler o kadar yavas ortalamaya doner ki, birkac hafta altindaki pratik ufuklarda GARCH neredeyse varyansta-rastgele-yuruyus gibi davranir (ki EWMA bunu varsayar).

Yakin-bütünlesmenin gercek mi yoksa yapisal kirilmalarin bir eseri mi oldugu (volatilite seviyesindeki kalici bir kaymanin model tarafindan tek bir uzun kalici bolum olarak okunmasi) gercek bir tartismadir. Bu, bir kez tum tarih uzerinde uyarlamak yerine kayan pencerelerde yeniden uyarlamak icin bir neden daha — tuzaklarda bu noktaya geri donuyoruz. Rejim yapisi ozellikle acik bir gecis modeliyle daha iyi ele alinir — bkz. gizli Markov modelleriyle rejim tespiti, ki bu GARCH'in yerine gecmekten ziyade onu tamamlar niteliktedir.

Maksimum Olabilirlikle Tahmin

GARCH parametreleri maksimum olabilirlikle tahmin edilir. Mantik dogrudandir: $\theta = (\mu, \omega, \alpha, \beta)$ verildiginde, ozyineleme kosullu varyanslarin tam bir yolunu $\sigma_t^2(\theta)$ uretir ve $z_t$ yenilikleri icin varsayilan bir dagilim altinda gozlemlenen getirilerin ne kadar olasi oldugunu yazabiliriz. Sonra o olabilirligi maksimize etmek icin $\theta$'yi seceriz.

Gauss yeniliklerini $z_t \sim \mathcal{N}(0,1)$ varsayin, boylece $r_t \mid \mathcal{F}_{t-1} \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma_t^2)$. Tek bir gozlemin kosullu yogunlugu sudur:

$f(r_t \mid \mathcal{F}_{t-1}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_t^2}}\exp\!\left(-\frac{(r_t - \mu)^2}{2\sigma_t^2}\right).$

Model kosullu olarak yazildigi icin, ortak olabilirlik bir adim ileri yogunluklarin bir carpimina ayrisir ve log-olabilirlik duz bir toplamdir:

$\ell(\theta) = -\frac{1}{2}\sum_{t=1}^{T}\left[\ln(2\pi) + \ln \sigma_t^2(\theta) + \frac{(r_t - \mu)^2}{\sigma_t^2(\theta)}\right].$

Dikkat edilecek iki yapisal gercek. Birincisi, $\sigma_t^2$ hem bir ceza olarak ($\ln \sigma_t^2$ — model yuksek varyans iddia ettigi icin cezalandirilir) hem de standartlastirilmis kalintida ($(r_t-\mu)^2/\sigma_t^2$ — model saskina donduruldugu icin cezalandirilir) gorunur. Optimum, ikisini dengeler ki bu da varyansin izlemesini saglayan seydir. Ikincisi, ozyineleme bir tohum $\sigma_1^2$'ye ihtiyac duyar; olagan secim getirilerin ornek varyansidir ve birkac bin gozlemle tohum neredeyse onemsizdir.

Maksimize edici icin kapali bir form yoktur, bu yuzden sayisal olarak optimize ederiz (arch, analitik veya sayisal gradyanlarla bir quasi-Newton yontemi kullanir). Olabilirlik yuzeyi genellikle GARCH(1,1) icin iyi davranir, ama pratikte iki sey isirir: pozitiflik kisitlari ($\omega,\alpha,\beta \ge 0$) ve $\alpha+\beta \to 1$ oldugunda sinira-yakin davranis; burada optimize edici yavas surunebilir. Iyi bir kutuphane her ikisini de sizin icin halleder — ve bir tane kullanmalisiniz. Elle bir GARCH MLE yazmak iyi bir ogrenme egzersizidir ama zayif bir uretim tercihidir.

arch kutuphanesi

Kevin Sheppard'in arch paketi, Python'daki standart aractir. Tum uyum dort satirdir.

from arch import arch_model

r = ret * 100.0

model  = arch_model(r, mean="Constant", vol="Garch", p=1, q=1, dist="normal")
res    = model.fit(disp="off")
print(res.summary())

Argüman isimleri hakkinda bir soz, cunku bunlar yaygin bir karisiklik kaynagidir. arch'ta, p gecikmeli varyanslarin sayisidir ($\beta$ terimleri, GARCH mertebesi) ve q gecikmeli kareli kalintilarin sayisidir ($\alpha$ terimleri, ARCH mertebesi). Yani p=1, q=1, turettigimiz GARCH(1,1)'dir. (Bollerslev'in orijinal notasyonu bunu, ARCH mertebesi icin $p$ ile GARCH($p,q$) olarak yazar — iki uzlasim yer degistirmistir. Belleginize degil, kutuphanenin kendi belgelerine guvenin.)

Ozeti okurken, katsayi tablosu kabaca su sekilde gorunur (BTC gunluk getirileri icin aciklayici degerler, gercek bir deney degil):

                     Volatility Model
==========================================================
                 coef    std err      t      P>|t|
----------------------------------------------------------
omega          0.4821     0.201    2.40    0.016
alpha[1]       0.0912     0.021    4.34    0.000
beta[1]        0.8994     0.024   37.5     0.000
==========================================================

Nasil okunur:

• alpha[1] + beta[1] = 0.0912 + 0.8994 = 0.9906. Kalicilik 1'in hemen altinda — uyarildigi gibi tam olarak IGARCH'a-yakin rejim. Yari omur $\approx \ln(0.5)/\ln(0.9906) \approx 73$ gun.
• omega = 0.4821, dolayisiyla uzun vadeli varyans yuzde-kare birimlerinde $0.4821 / (1 - 0.9906) = 51.3$, yani $\sqrt{51.3} \approx 7.2\%$'lik uzun vadeli bir gunluk volatilite ya da kabaca $7.2\%\times\sqrt{365}\approx 138\%$ yillastirilmis. Bu, makul bir BTC sayisidir.
• Hem alpha hem de beta guclu bicimde anlamlidir. alpha'nin beta'ya gore kucuk olmasi tipiktir: kripto varyansi cogunlukla kaliciliktir (bellek), yeni soklara mutevazi ama gercek bir tepkiyle.

×100 olcekleme tuzagi

Bu, arch'tan sacma sonuc almanin en yaygin yoludur, bu yuzden kendi alt bolumunu hak ediyor. Optimize edici, gordugu sayilar $O(1)$ ile $O(100)$ arasinda oldugunda en iyi calisir. Gunluk logaritmik getiriler $O(0.01)$'dir, dolayisiyla kareleri $O(0.0001)$'dir ve $\omega$'nin $10^{-6}$ civarinda olmasi gerekir — sayisal gradyanlarin hassasiyet kaybettigi ve uyumun sessizce yakinsamayabilecegi ya da cop standart hatalar dondurebilecegi bir aralikta.

Duzeltme, yukaridaki gibi 100 ile olceklenmis getirilerde (yani yuzde cinsinden) uyum saglamaktir. arch, unutursaniz bir DataScaleWarning bile yayacaktir. Modelden okudugunuz her sey o zaman yuzde veya yuzde-kare birimlerindedir ve tutarli bicimde olcegi geri almaniz gerekir:

sigma_pct     = np.sqrt(res.forecast(horizon=1).variance.iloc[-1, 0])
sigma_decimal = sigma_pct / 100.0
print(f"1-day-ahead conditional vol: {sigma_decimal:.2%}")

Olceklenmis ve olceklenmemis nicelikleri karistirmak — diyelim ki ondalik bekleyen bir pozisyon boyutlandirma formuluine yuzde bir volatilite beslemek — tam olarak 100x'lik hatalar uretir; bunlari gozden kacirmak kolaydir cunku kod sorunsuz calisir. Bir uzlasim secin (ben uyumun disinda her seyi ondalik tutarim ve yalnizca arch sinirinda olceklendirilirim) ve asla asmayin.

Kosullu Varyansi Tahmin Etmek

Uyarlanmis bir model yalnizca tahmin yaparsa yararlidir. GARCH, herhangi bir ufukta temiz, analitik tahminler verir.

Bir adim ilerisi. $T$ zamaninda (ornegin sonu) $\varepsilon_T$ ve $\sigma_T^2$'yi biliriz, dolayisiyla bir sonraki varyans deterministiktir:

$\sigma_{T+1}^2 = \omega + \alpha\,\varepsilon_T^2 + \beta\,\sigma_T^2.$

Beklentiye gerek yok — sagdaki her sey gozlemlenmistir.

Cok adim ilerisi. $h \ge 2$ icin araya giren soklari henuz bilmeyiz, bu yuzden kosullu beklentiler aliriz. $\mathbb{E}_T[\varepsilon_{T+k}^2] = \mathbb{E}_T[\sigma_{T+k}^2]$ kullanarak ($\mathbb{E}[z^2]=1$ oldugu icin), ozyineleme tahmin edilen varyansta basit bir AR(1)'e cokerek indirgenir:

$\mathbb{E}_T[\sigma_{T+h}^2] = \omega + (\alpha + \beta)\,\mathbb{E}_T[\sigma_{T+h-1}^2].$

Bunu bir adimlik tahminden yineleyerek, daha once turettigimiz ortalamaya donus sonucunun acikca yazilmis hali olan kapali formu verir:

$\mathbb{E}_T[\sigma_{T+h}^2] = \bar{\sigma}^2 + (\alpha+\beta)^{\,h-1}\bigl(\sigma_{T+1}^2 - \bar{\sigma}^2\bigr), \qquad \bar{\sigma}^2 = \frac{\omega}{1-\alpha-\beta}.$

Bunu dikkatlice okuyun, cunku bu her GARCH tahmininin geometrisidir. Varyansin vade yapisi, bugunun kosullu varyansi $\sigma_{T+1}^2$'de baslar ve uzun vadeli seviye $\bar{\sigma}^2$'ye dogru geometrik olarak azalir. Bugun ortalamadan daha sakinse, tahmin egrisi $\bar\sigma^2$'ye dogru yukselir; bugun bir krizse, ona dogru duser. O azalmanin hizi tamamen $(\alpha+\beta)$ tarafindan belirlenir — ve $\alpha+\beta \approx 0.99$ olan IGARCH'a-yakin kripto rejiminde azalma o kadar yavastir ki, birkac hafta altindaki ufuklar icin tahmin, bugunun seviyesinden zar zor ayrilir. Bunu icsellestirmeye deger: kisa tutma sureleri icin, kripto GARCH tahmini esas olarak yarin bugune benziyor, yalnizca cok yavas donuyor demektir.

Bir tutma ufkuna toplama. Trader'lar nadiren tek bir gelecek gunun varyansini onemser. Bir pozisyonu $H$ gun tutarsaniz ve getiriler kosullu olarak korelasyonsuzsa (bastaki uslupsal gercek), kumulatif $H$ gunluk getirinin varyansi, bir gunluk tahmin varyanslarinin toplamidir:

$\sigma_{T}^{2}(H) = \sum_{h=1}^{H} \mathbb{E}_T[\sigma_{T+h}^2], \qquad \sigma_T(H) = \sqrt{\sigma_T^2(H)}.$

Gercekte buna karsi boyutlandirdiginiz sayi budur — tutma sureniz boyunca kar-zararin volatilitesi. Bunun kesinlikle naif $\sqrt{H}\,\sigma_{T+1}$ olceklemesi olmadigina dikkat edin; bu yalnizca varyans sabitse dogrudur. Bugunun varyansi $\bar\sigma^2$'nin uzerinde oldugunda, ortalamaya donen tahmin gercek $H$ gunluk volatiliteyi karekok kuralindan daha dusuk yapar; bugun sakinse daha yuksek yapar. Bunu dogru yapmak, vade yapisina saygi duyan bir stop ile duymayan bir stop arasindaki farktir.

Kod olarak:

H = 10
fc = res.forecast(horizon=H, reindex=False)

var_path_pct2 = fc.variance.iloc[-1].values        # [E_T sigma^2_{T+1}, ..., T+H]
var_path      = var_path_pct2 / (100.0 ** 2)       # back to decimal variance

daily_vol   = np.sqrt(var_path)
print("Forecast daily vol path:", np.round(daily_vol * 100, 2), "%")

H_day_var = var_path.sum()
H_day_vol = np.sqrt(H_day_var)
print(f"{H}-day holding-period vol: {H_day_vol:.2%}")

naive = np.sqrt(var_path[0] * H)
print(f"Naive sqrt(H) * sigma_1:   {naive:.2%}")

Daha uzun ufuklar icin GARCH ayrica simulasyon tahminlerini de destekler (method="simulation"); bunlar yenilik dagilimini ileri yayar ve size yalnizca varyansini degil, tam tahmin yogunlugunu verir — 2. Bolum'de Student-t ve carpik dagilimlara gectigimizde olacagi gibi, yenilikler Gauss disi oldugunda yararlidir. Yukaridaki varyansta-dogrusal nicelikler icin analitik yol tam ve bedavadir.

Tanilar: Model Gercekten Ise Yaradi mi?

Bir modeli uyarlamak, onu dogrulamakla ayni sey degildir. GARCH'in butun amaci, kosullu heteroskedastisiteyi — volatilite kumelenmesini — emmektir, boylece geride kalan sey (neredeyse) i.i.d. olur. Bu yuzden dogru kontrol, standartlastirilmis kalintilara bakmaktir:

$\hat{z}_t = \frac{r_t - \hat\mu}{\hat\sigma_t}$

ve sormak: kumelenme gitti mi? Model varyans dinamiklerini yakaladiysa, $\hat z_t$ birim varyansa sahip olmali ve en onemlisi, onlarin kareleri $\hat z_t^2$ kalan hicbir otokorelasyon gostermemelidir. Uc test calistiriyoruz.

1. Standartlastirilmis kalintilarda Ljung-Box. $\hat z_t$'nin seviyesinde dogrusal otokorelasyon kalmadigini kontrol eder (bu gercekte varyans modelini degil, ortalama modelini test eder). Reddetmemelidir.

2. Kareli standartlastirilmis kalintilarda Ljung-Box. Onemli olan budur. $\hat z_t^2$ hala anlamli otokorelasyona sahipse, varyans modeli kumelenmeyi kaldirmayi basaramamistir — GARCH(1,1)'in yakalamadigi bir yapi vardir ve daha yuksek bir mertebeye, asimetrik bir varyanta ya da farkli bir yenilik dagilimina ihtiyaciniz olabilir. Reddetmemelidir.

3. ARCH-LM testi (Engle'in Lagrange-carpani testi). $\hat z_t^2$'yi kendi gecikmeleri uzerine regresyona sokun ve ortak anlamliligi test edin. Esasen test 2'nin bicimsel bir versiyonudur ve dogrudan geriye ARCH etkisi kaldi mi diye sorar. Anlamsiz bir sonuc, kosullu heteroskedastisitenin modellenip ortadan kaldirildigini dogrular.

from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox
from arch.unitroot.cointegration import engle_granger  # (unrelated; shown for import clarity)

z  = res.std_resid.dropna()          # standardized residuals
z2 = z ** 2

lb_z  = acorr_ljungbox(z,  lags=[10, 20], return_df=True)
lb_z2 = acorr_ljungbox(z2, lags=[10, 20], return_df=True)
print("Ljung-Box on standardized residuals:\n", lb_z, "\n")
print("Ljung-Box on SQUARED standardized residuals:\n", lb_z2, "\n")

lm = res.arch_lm_test(lags=10, standardized=True)
print(lm)

print(f"\nStd-resid excess kurtosis: {stats.kurtosis(z):.2f}")

Iyi ciktinin nasil gorundugu: $\hat z_t^2$ uzerindeki Ljung-Box p-degerleri (ham kareli getirilerdeki) sifira-yakindan rahatca 0.05'in uzerine siçrar ve ARCH-LM testi reddetmede basarisiz olur. Bu, modelin ikinci moment uzerindeki isini yaptigina dair kanitinizdir.

Kusurlu ciktinin nasil gorundugu — ve kriptoda duz bir Gauss GARCH(1,1) ile ne beklemeniz gerektigi — kumelenme testlerinin gectigi ama standartlastirilmis-kalinti basikliginin hala yuksek oldugudur (diyelim ki 0 yerine 4-6). GARCH kumelenmeyi kaldirir ama tek bir kalin kuyruklu kosulsuz dagilim kalir, cunku Gauss yenilikleri kuyruklari yeniden uretemez. O kalan kalin kuyrukluluk burada duzeltilecek bir hata degildir; bu, asimetrik GARCH ve kriptoda kaldirac etkisi olan 2. Bolum'un motivasyonudur; burada Student-t ve carpik-t yenilikleri ve GJR/EGARCH asimetri terimi tam olarak bunu ele alir.

Uygulama: Volatiliteye Gore Olceklenmis Boyutlandirma ve Stop'lar

Artik yarinin (ve sonraki $H$ gunun) volatilitesine dair bir tahminimiz var. Bununla ne yapariz? En basit, en yuksek degerli iki kullanim pozisyon boyutlandirma ve stop yerlestirmedir. Her ikisini de burada kasitli olarak temel tutuyoruz — tum pratik makineleriyle birlikte tam volatilite hedefleme stratejisi 4. Bolum'dur.

Volatilite hedefli pozisyon boyutlandirma

Fikir, nominal degeri zamanla sabit olan bir pozisyon yerine, risk katkisi zaman boyunca kabaca sabit olan bir pozisyon tutmaktir. Her zaman ayni dolar boyutunu konuslandirirsaniz, riskiniz yuksek volatilite rejimlerinde sisir ve sakin olanlarda buzuşur — istediginizin tam tersi. Volatilite hedefleme bunu tersine cevirir: kar-zararin sabit bir hedef volatilitesini amaclayin ve boyutu tahminin dikte etmesine izin verin.

Hedef yillastirilmis bir volatilite $\sigma_{\text{target}}$ (diyelim ki yuzde 20) ve tahmin edilen yillastirilmis bir volatilite $\hat\sigma_t$ icin, pozisyon agirligi sudur:

$w_t = \frac{\sigma_{\text{target}}}{\hat{\sigma}_t}.$

Tahmin edilen volatilite yuksek oldugunda kucultursunuz; dusuk oldugunda buyuturusunuz. Mekanizmanin tamami budur. $\hat\sigma_t$ tahmin edildigi icin — $t+1$'deki getiri gerceklesmeden once $t$'de bilinir — zamanlamada disiplinli oldugunuz surece ileriye bakma yoktur (tuzaklarda bu konuda daha fazlasi).

def vol_target_weight(sigma_forecast_annual, sigma_target_annual=0.20,
                      w_max=3.0):
    """Volatility-scaled position weight. Inputs/outputs in decimals.
    w_max caps leverage so a tiny forecast vol can't demand insane size."""
    w = sigma_target_annual / sigma_forecast_annual
    return float(np.clip(w, 0.0, w_max))

sigma_1d   = np.sqrt(res.forecast(horizon=1).variance.iloc[-1, 0]) / 100.0
sigma_ann  = sigma_1d * np.sqrt(365)
w          = vol_target_weight(sigma_ann, sigma_target_annual=0.20)
print(f"Forecast annual vol: {sigma_ann:.1%}  ->  position weight: {w:.2f}x")

Bu, uygun sermaye tahsis kurallarinin bir kuzenidir. Volatilite hedefleme riskin volatiliteyle ne kadar olceklenmesi gerektigini yanitlarken, Kelly kriteri riskin avantajla ne kadar olceklenmesi gerektigini yanitlar — ve ikisi tam bir boyutlandirma yiginında birbiriyle carpilir: boyut $\propto$ avantaj / varyans. Kelly'nin varyans teriminin tam olarak simdi hesapladiginiz GARCH tahmini oldugunu unutmayin; canli bir volatilite modelinin, statik bir tarihsel tahmine gore Kelly boyutlandirmasini onemli olcude keskinlestirmesinin nedeni budur. Avantaj tahmininizin kendisi nicelendirilmis belirsizlik tasiyorsa, conformal tahmin, boyutu buna uyacak sekilde genisletmenin veya daraltmanin dagilimdan bagimsiz bir yolunu verir ve volatilite hedeflemeyle temiz bicimde birlesir.

w_max siniri istege bagli degildir. IGARCH'a-yakin rejimde sessiz bir donem tahmin volatilitesini oldukca dusuruebilir ve $\sigma_{\text{target}}/\hat\sigma_t$, kagit uzerinde uygun ama sakinlik kirildiginda yikici olan bir kaldirac talep eder — ki volatilite kumelenmesine gore, sonunda, cogu zaman aniden kirilir. Kaldiraci sinirlamak, tahmininizin bir garanti degil bir kosullu ortalama oldugunun ve yanilmanin getirisinin asimetrik oldugunun kaba-ama-etkili kabuludur. O asimetri — patlamis bir hesap, simetrik bir kazanciyla geri kazanilamaz — tam olarak sizi bir varyans-yalniz kuralin onerdiginden sistematik olarak daha temkinli yapmasi gereken kayip-kar asimetrisidir.

Volatiliteye gore olceklenmis stop'lar

Sabit yuzdeli bir stop, sabit bir pozisyon boyutuyla ayni hastaliga sahiptir: yuzde 3'luk bir stop, sakin bir piyasada saç tetigi ve siddetli bir piyasada bir yuvarlama hatasidir. Yuksek volatilite rejimlerinde siradan gurultuyle sizi iyi pozisyonlardan cikarir ve gecisler sirasinda cok fazla geri verir. Duzeltme, stop mesafesini tahmin volatilitesi birimlerinde ayarlamaktir.

$\text{stop mesafesi}_t = k \cdot \hat\sigma_t^{(H)}$

burada $\hat\sigma_t^{(H)}$ beklenen tutma ufkunuz $H$ uzerindeki tahmin volatilitesidir (tahmin bolumundeki toplanan nicelik) ve $k$ bir kattir — tipik olarak 1.5 ila 3 — stop'un normal dalgalanmanin disinda ama gercek bir olumsuz hareketin icinde oturmasi icin secilir.

def vol_scaled_stop(entry_price, side, sigma_H, k=2.0):
    """
    entry_price : fill price
    side        : +1 long, -1 short
    sigma_H     : forecast volatility over the holding horizon (decimal)
    k           : stop width in vol units
    Returns the stop price.
    """
    stop_frac = k * sigma_H
    return entry_price * (1.0 - side * stop_frac)

var_path = res.forecast(horizon=10, reindex=False).variance.iloc[-1].values / (100.0 ** 2)
sigma_H  = np.sqrt(var_path.sum())

entry = float(px.iloc[-1])
stop  = vol_scaled_stop(entry, side=+1, sigma_H=sigma_H, k=2.0)
print(f"Entry {entry:,.0f}  |  10-day vol {sigma_H:.2%}  |  2-sigma stop {stop:,.0f}")

$\hat\sigma_t^{(H)}$ duz bir tarihsel sayi yerine ortalamaya donen vade-yapisi tahminini kullandigi icin, stop calkantili rejimlere girerken otomatik olarak genisler ve volatilite azaldikça daralir — vade yapisi uyarlanmayi sizin icin yapar. Bu, hem boyutu hem de stop'u besleyen ayni tahmindir ki bu bir ozelliktir: yuksek volatilite rejiminde ayni anda daha az tutarsiniz ve pozisyona daha fazla alan verirsiniz ve iki etki onemli olcude daha dusuk kuyruk riskinde birleşir. Boyutlandirma ve stop'lar, iki bagimsiz dugme degil, tek bir volatilite gorusunun iki projeksiyonudur.

1. Bolum'de uygulamayi bu kadar ileri goturuyoruz. Gercek bir stratejinin islem maliyetlerini surekli yeniden dengelemeden, tahminin ne zaman hesaplandigi ile islemin ne zaman yerlestirildiginin zamanlamasindan, devir hizi kontrolunden ve — hepsinin ustunde — durust ornek-disi degerlendirmeden basa cikmasi gerekir. Bunlarin tamami 4. Bolum: volatilite hedefli GARCH stratejisi'dir; burada butun seyi insa edip ileri yonlu test ediyoruz.

Tuzaklar

GARCH'i uyarlamak kolaydir ve kendinizi kandirmaniz kolaydir. Basarisizlik modlari tutarlidir.

Getiri olcekleme. Yukarida ele alindi, ama bu bir numarali hatadir, bu yuzden tekrarlamaya deger: arch'i getiriler × 100 uzerinde uyarla ve her ciktiyi olcekten cikar (varyansi $100^2$ ile, volatiliteyi $100$ ile). Buradaki sessiz bir 100x hatasi, sonraki her boyutlandirma ve stop hesaplamasini zehirler.

Uyarlamada ileriye bakma. Ince katil. Modeli tum tarih uzerinde uyarlar ve sonra ayni tarih uzerinde tahminler hesaplarsaniz, her tahmin gelecegi gizlice gormustur — parametreler tahmin tarihinden sonraki verileri kullanarak tahmin edilmistir. Ornek-ici uyum harika gorunecek ve canli performans buna hic benzemeyecek. Her backtest edilmis tahmin, yalnizca o anda mevcut olan veriler uzerinde uyarlanan bir modelden gelmelidir: genisleyen veya kayan bir pencerede yeniden uyarla, bir adim tahmin et, ileri yuvarla. Bu pazarlik konusu degildir ve ileri yonlu optimizasyon'un butun konusudur. Ornek-ici bir GARCH ile duzgunce ileri yonlu bir GARCH arasindaki fark, bir demo ile canli piyasalarla temasta hayatta kalan bir sistem arasindaki farktir — ayrica bkz. backtest-canli paritesi.

Tahminin zamanlamasi. Ilgili ama farkli. $t+1$ gunu icin tahmin, $t$ gununun kapanisinda (veya barinizin kapandigi anda) mevcut olan bilgilerden hesaplanmalidir ve pozisyon, gercekten elde edebileceginiz bir fiyattan islenebilir olmalidir. Tahmini $t+1$ gununun kapanisini kullanarak hesaplayip sonra $t+1$ gununun acilisinda islem yapmak, her sonucu sessizce sisiren bir ileriye bakmadir.

Yuksek mertebeleri asiri uydurma. GARCH(1,1) neredeyse her zaman yeterlidir. Ornek-ici log-olabilirligi biraz yukari ittigi icin GARCH(2,2) ya da GARCH(3,1) uydurma cazibesi genellikle gurultu uydurmadir; fazladan parametreler nadiren ornek-disi tahminleri iyilestirir ve cogu zaman optimize ediciyi sinira yakin kararsiz yapar. Cimri modeli tercih edin ve mertebeleri karsilastirmaniz gerekiyorsa, onlari ornek-ici AIC ile degil, bir ileri yonlu bolunmede ornek-disi tahmin kaybiyla karsilastirin. Kalinti tanilar hala bir sorun gosterdiginde, duzeltme genellikle daha yuksek bir mertebe degil, daha iyi bir yenilik dagilimi veya bir asimetri terimidir (2. Bolum).

Yapisal kirilmalarin kalicilik olarak okunmasi. Belirtildigi gibi, volatilite seviyesindeki kalici bir kayma (yeni bir piyasa rejimi, piyasa mikroyapisindaki bir degisim) GARCH tarafindan sahte bicimde yuksek kalicilik olarak emilebilir ve $\alpha+\beta$'yi 1'e dogru iter. Uzun vadeli volatilite tahmininiz pencereler arasinda kararsiz gorunuyorsa, IGARCH'a-yakin nokta tahminine guvenmek yerine bir kirilmadan supheleniniz. Kayan yeniden uyarlamalar ve uygun oldugunda acik bir rejim modeli buna karsi koruma saglar.

Volatilite tahminlerini getiri tahminleri olarak ele almak. GARCH, hareketlerin yonunu degil, buyuklugunu tahmin eder. Size yarinin salinimin ne kadar buyuk olacagini soyler, hangi yone olacagini degil. Dogal evinin sinyal uretimi yerine risk yonetimi — boyutlandirma, stop'lar, VaR — olmasinin nedeni tam olarak budur. Iyi bir varyans tahminini bir avantajla karistirmayin.

Bundan Sonra Nereye Gidiyor

GARCH(1,1) temeldir ve kasitli olarak eksiktir. Dizi onu uc yonde insa eder:

• Asimetri ve agir kuyruklar — gercek kripto volatilitesi yukari hareketlerden cok asagi hareketlere yanit verir (kaldirac etkisi) ve Gauss yenilikleri kuyruklari yeniden uretemez. GJR-GARCH, EGARCH ve Student-t / carpik-t yenilikleri 2. Bolum'dur.
• Cok degiskenli volatilite — kripto varliklar arasindaki korelasyonlar da zamanla degisir ve cokuslerde siçrar. Tum kovaryans matrisini dinamik olarak modellemek 3. Bolum: DCC-GARCH'tur; bu, kovaryans dinamik oldugunda dogrudan Markowitz ortalama-varyans ve CVaR tabanli tahsis ile baglantilidir.
• Tam strateji — boyutlandirma, stop'lar, maliyetler, devir hizi ve durust ileri yonlu degerlendirme 4. Bolum'de bir araya gelir.

Ve GARCH marjinallerinin ortak riski nasil besledigi: buradaki tek degiskenli kosullu varyans modeli, portfoy VaR/CVaR icin GARCH-EVT-kopula boru hattinin tam olarak ilk asamasidir. Bir varlik-basi GARCH uyumundan standartlastirilmis kalintilar aldiginizda, onlari donusturur ve bir kopula ile birbirine yapistirirsiniz — marjinaller GARCH, bagimlilik kopuladir. Kuyruk bagimliligi ve EVT kuyruk islemi dahil o insaat, ortak kripto riski icin kopula modelleri'nde derinlemesine ele alinir; bu makale onun altinda oturan tek degiskenli motordur.

Ozet

• Kripto getirileri volatilite kumelenmesi, kalin kuyruklar ve getiri otokorelasyonu yoklugu ama guclu kareli-getiri otokorelasyonu sergiler. Sabit volatilite varsayan herhangi bir arac — tek bir $\sigma$ ile Black-Scholes, statik VaR, sabit yuzdeli stop'lar — bu gerceklere karsi yanlis belirlenmistir.
• GARCH(1,1), $\sigma_t^2 = \omega + \alpha\varepsilon_{t-1}^2 + \beta\sigma_{t-1}^2$, zamanla degisen kosullu varyansi uc parametreyle modeller: bir taban $\omega$, bir sok tepkisi $\alpha$ ve bir kalicilik $\beta$. Geometrik olarak azalan bellege sahip bir ARCH($\infty$)'dur; yuksek mertebeli ARCH'i gecmesinin nedeni budur.
• Duraganlik $\alpha+\beta<1$ gerektirir; uzun vadeli varyans $\omega/(1-\alpha-\beta)$'dir, kalicilik $\alpha+\beta$'dir ve volatilite yari omru $\ln 0.5 / \ln(\alpha+\beta)$'dir. Kripto IGARCH'a-yakin rejimde oturur ($\alpha+\beta\approx 0.99$): cok kalici, ortalamaya yavas donen ve kirilgan bir uzun-vadeli-varyans tahminiyle.
• Maksimum olabilirlikle tahmin edin. Gauss log-olabilirligi, bir adimlik yogunluklarin bir toplamidir; onu arch_model(r*100, vol="Garch", p=1, q=1) ile uyarla. ×100 olceklemeyi ve her ciktinin olcegini tutarli bicimde geri almayi unutmayin.
• Tahminler, $(\alpha+\beta)^{h-1}$ oraninda uzun vadeli varyansa dogru geometrik olarak ortalamaya doner. Naif $\sqrt{H}$ kurali degil, tutma-ufku volatilitesini elde etmek icin gunluk varyans tahminlerini toplayin.
• Dogrulayin: kareli standartlastirilmis kalintilarda Ljung-Box ve ARCH-LM testi. Bunlari gecmek, kumelenmenin modellenip kaldirildigini dogrular; kalan kalinti kalin kuyruklari 2. Bolum'u motive eder.
• Uygulayin: volatilite hedefli boyutlandirma ($w_t = \sigma_{\text{target}}/\hat\sigma_t$, sinirlanmis) ve volatiliteye gore olceklenmis stop'lar ($k\cdot\hat\sigma_t^{(H)}$). Bir tahmin her ikisini de yonlendirir, dolayisiyla yuksek volatilite rejimleri ayni anda daha kucuk boyut ve daha genis stop'lar alir.
• Onemli olan tuzaklar: getiri olcekleme, uyarlamada ileriye bakma (yalnizca gecmis veriler uzerinde uyarla, her zaman ileri yonlu), tahmin zamanlamasi, asiri mertebeleme ve bir varyans tahminini asla bir yon tahminiyle karistirmama.

Kaynaklar:

• Engle, R. F. (1982). Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation. Econometrica, 50(4), 987-1007. DOI
• Bollerslev, T. (1986). Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. Journal of Econometrics, 31(3), 307-327. DOI
• Mandelbrot, B. (1963). The Variation of Certain Speculative Prices. The Journal of Business, 36(4), 394-419. DOI
• Nelson, D. B. (1991). Conditional Heteroskedasticity in Asset Returns: A New Approach. Econometrica, 59(2), 347-370. DOI
• Katsiampa, P. (2017). Volatility estimation for Bitcoin: A comparison of GARCH models. Economics Letters, 158, 3-6. DOI
• Chu, J., Chan, S., Nadarajah, S., & Osterrieder, J. (2017). GARCH Modelling of Cryptocurrencies. Journal of Risk and Financial Management, 10(4), 17. DOI
• Sheppard, K. (2023). arch: Autoregressive Conditional Heteroskedasticity (ARCH) and other tools for financial econometrics in Python. GitHub.