Шығын-Пайда Асимметриясы: Депозитіңізді Құртатын Математика

Неліктен 50% шығынды өтеу үшін 100% өсім қажет, волатильділік дрейфі (volatility drag) бүйірлік нарықтарда да капиталды қалай жойып жіберетінін және тәуекел менеджментін құру үшін әрбір алго-трейдер білуге тиіс формулаларды түсіндіреміз.

Интуицияны Бұзатын Жұмбақ

Елестетіп көріңіз: актив 70%-ға өсті, содан кейін 70%-ға құлады. Немесе керісінше — алдымен құлады, содан кейін өсті. Қай сценарий тиімдірек?

Жауабы: екеуі де бірдей тиімсіз. Көбейту коммутативті:

$100 \times 1.7 \times 0.3 = 100 \times 0.3 \times 1.7 = 51$

Сіз "нөлдік" баға қозғалысында капиталыңыздың 49%-ын жоғалттыңыз. Бұл қате емес — бұл кірістердің көбейткіштік табиғатының іргелі қасиеті.

Неге Шығындар Пайдадан "Ауыр"

Пайыздық кіріс — көбейткіштік кеңістіктегі операция. 50% шығын деген 0,5-ке көбейту дегенді білдіреді, ал бастапқы нүктеге қайту үшін 2-ге көбейту керек — яғни 100% табу керек.

Қалпына Келтіру Формуласы

Егер сіз капиталыңыздың $x\%$-ын жоғалтсаңыз, бастапқы балансқа қайту үшін қажетті кіріс:

$R_{recovery} = \frac{x}{100 - x} \times 100\%$

Туынды қарапайым. Бастапқы капитал $C$ болсын делік. $x\%$ шығыннан кейін:

$C_{after} = C \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right)$

Қалпына келу үшін $C_{after} \cdot (1 + R) = C$, сондықтан:

$R = \frac{C}{C_{after}} - 1 = \frac{1}{1 - x/100} - 1 = \frac{x}{100 - x}$

Асимметрия Кестесі

Асимметрия коэффициенті сызықтық емес түрде өседі. 50% шығыннан кейін сіз стратегияны өзгертпей шығу статистикалық тұрғыдан іс жүзінде мүмкін емес аймаққа түсесіз.

Волатильділік Дрейфі: Бүйірлік Нарықтардағы Үнсіз Өлтіруші

Нарық "қозғалмай тұрса" да, тек волатильділіктің өзі капиталды жояды. Бұл құбылыс волатильділік дрейфі (немесе variance drain) деп аталады.

Формальды Анықтама

$r_1, r_2, \ldots, r_n$ күнделікті кірістер тізбегі үшін геометриялық (нақты) кіріс:

$G = \prod_{i=1}^{n}(1 + r_i) - 1$

Арифметикалық (орташа) кіріс:

$\bar{r} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} r_i$

Олардың арасындағы қатынас шамамен былай:

$G \approx \bar{r} - \frac{\sigma^2}{2}$

мұндағы $\sigma^2$ — кірістердің дисперсиясы. $\frac{\sigma^2}{2}$ мүшесі — волатильділік дрейфі.

Мысал: Күнделікті Волатильділігі 5% Бүйірлік Нарық

Активтің әр күні тең ықтималдықпен кездейсоқ түрде 5%-ға өсетінін немесе құлайтынын елестетіп көрейік. Арифметикалық орта = 0%. Бірақ геометриялық кіріс:

$G \approx 0 - \frac{0.05^2}{2} = -0.125\%$

252 сауда күні бойы: $(1 - 0.00125)^{252} \approx 0.729$, яғни "нөлдік" орташа қозғалыста жылына -27,1%.

Күнделікті волатильділігі әдетте 3–8% болатын крипто нарығы үшін бұл бағыттық трендсіз волатильді активті ұстау капитал шығынына кепілдік беретінін білдіреді.

Практикалық Қолдану: Python Симуляциясы

import numpy as np

def simulate_volatility_drag(daily_vol: float, days: int = 252, simulations: int = 10_000) -> dict:
    """
    Monte Carlo simulation of volatility drag.

    Args:
        daily_vol: daily volatility (0.05 = 5%)
        days: number of trading days
        simulations: number of simulations

    Returns:
        Statistics of real (geometric) returns
    """
    daily_returns = np.random.normal(0, daily_vol, (simulations, days))

    cumulative = np.prod(1 + daily_returns, axis=1)
    geo_returns = cumulative - 1

    theoretical_drag = -0.5 * daily_vol**2 * days

    return {
        "mean_geometric_return": np.mean(geo_returns),
        "median_geometric_return": np.median(geo_returns),
        "theoretical_drag": theoretical_drag,
        "prob_loss": np.mean(geo_returns < 0),
        "worst_5pct": np.percentile(geo_returns, 5),
        "best_5pct": np.percentile(geo_returns, 95),
    }

result = simulate_volatility_drag(daily_vol=0.04)
print(f"Mean geometric return:  {result['mean_geometric_return']:.2%}")
print(f"Theoretical drag:       {result['theoretical_drag']:.2%}")
print(f"Probability of loss:    {result['prob_loss']:.2%}")
print(f"Worst 5%:               {result['worst_5pct']:.2%}")

BTC тәрізді волатильділік үшін типтік нәтиже:

Mean geometric return:  -17.34%
Theoretical drag:       -20.16%
Probability of loss:     63.28%
Worst 5%:               -72.41%

Алго-трейдинг Үшін Салдары

1. Risk/Reward және Келли Критерийі

Шығын асимметриясын біле отырып, оңтайлы позиция көлемі Келли критерийі арқылы есептеледі:

$f^* = \frac{p \cdot W - (1 - p) \cdot L}{W \cdot L}$

мұндағы $p$ — жеңу ықтималдығы, $W$ — орташа жеңіс, $L$ — орташа шығын (тәуекел үлесі ретінде).

Практикалық трейдингте фракциялық Келли ($f^{*}/2$ немесе $f^{*}/3$) қолданылады, ол ұзақ мерзімді кірістің аз ғана төмендеуімен капитал волатильділігін азайтады.

2. Максималды Просадка және Позиция Көлемі

Егер стратегия $D_{max}$ максималды просадкаға рұқсат берсе және стоп-лосс $S\%$-да орнатылса, критикалық просадкаға дейінгі максималды кезекті стоптар саны:

$n = \frac{\ln(1 - D_{max})}{\ln(1 - S)}$

Мысал: $D_{max} = 20\%$ және $2\%$ стоп-лосспен:

$n = \frac{\ln(0.8)}{\ln(0.98)} = \frac{-0.2231}{-0.0202} \approx 11$

Стратегия 11 кезекті стопты көтере алады. Жеңіс жиілігін (win rate) біле отырып, осындай серияның ықтималдығын бағалауға болады:

$P(n\ \text{stops}) = (1 - WR)^n$

45% жеңіс жиілігінде: $P = 0.55^{11} \approx 0.14\%$ — қолайлы тәуекел.

3. Стратегияның Геометриялық Күтуі

Стратегияның нақты ұзақ мерзімді кірісі — мәмілелердің арифметикалық ортасы емес, геометриялық күту:

$E_{geo} = (1 + W)^p \times (1 - L)^{(1-p)} - 1$

$W = 3\%$, $L = 1\%$, $WR = 40\%$ стратегиясы:

$E_{geo} = 1.03^{0.4} \times 0.99^{0.6} - 1 = 1.01194 \times 0.99401 - 1 = +0.59\%$

$W = 3\%$, $L = 3\%$, $WR = 50\%$ стратегиясы ("нөлдік" сияқты көрінеді):

$E_{geo} = 1.03^{0.5} \times 0.97^{0.5} - 1 = 1.01489 \times 0.98489 - 1 = -0.045\%$

Win rate 50% болатын симметриялы R:R стратегиясы волатильділік дрейфіне байланысты тиімсіз.

4. Левередж: Иінтірек Стратегияны Бұзғанда

Левередж тек кірісті ғана емес, волатильділік дрейфін де көбейтеді. Левереджсіз дрейф $\frac{\sigma^2}{2}$-ге тең; $L$ левереджімен ол $\frac{L^2 \sigma^2}{2}$ болады. Левередж кезіндегі капиталдың геометриялық өсу қарқыны:

$g(L) = L \cdot \mu - \frac{L^2 \sigma^2}{2}$

мұндағы $\mu$ — күтілетін кіріс, ал $\sigma$ — активтің волатильділігі.

3× левередж дрейфті 3 есе емес, 9 есе арттырады. 10× левередж — 100 есе. 100× левередж — 10 000 есе.

Оңтайлы Келли Левереджі

$g(L)$ максимумы мына жерде жетеді:

$L^* = \frac{\mu}{\sigma^2}$

Бұл теориялық оптимум. Іс жүзінде позиция көлемін анықтаудағыдай себептермен фракциялық Келли ($L^*/2$ немесе $L^*/3$) қолданылады: $\mu$-дың дәл емес бағасы, «майлы құйрықты» үлестірімдер және стационарлы емес волатильділік.

Кесте: Левередж, Ликвидация және Волатильділік Дрейфі

Мақсатты Просадкадан Максималды Левередж

Егер максималды просадканы $D_{max}$-пен шектесеңіз және активтің 99% сенімділік деңгейіндегі күнделікті VaR-ы $V$ болса:

$L_{max} = \frac{D_{max}}{V}$

Кестеден тұжырым: крипто нарығы үшін оның волатильділігімен 3× левередждің өзі агрессивті. Крипто биржаларындағы танымал 50×–125× — нарықтың алғашқы қалыпты қозғалысында математикалық тұрғыдан кепілдендірілген ликвидация.

Левередж Таңдау Үшін Практикалық Формула

Берік көзқарас — бірнеше бағалаудың минимумын алу:

$L_{opt} = \min\left(\frac{L_{Kelly}}{2},\quad \frac{D_{max}}{VaR},\quad \frac{\sigma_{target}}{\sigma_{current}},\quad L_{exchange}\right)$

мұндағы:

• $\frac{L_{Kelly}}{2}$ — фракциялық Келли (оңтайлы левереджтің жартысы)
• $\frac{D_{max}}{VaR}$ — максималды просадка шектеуі
• $\frac{\sigma_{target}}{\sigma_{current}}$ — vol-targeting (мақсатты портфель волатильділігіне масштабтау)
• $L_{exchange}$ — биржа лимиті

Минимум ешбір шектеудің бұзылмауын қамтамасыз етеді. Іс жүзінде просадка шектеуі әдетте ең қатаңы болып табылады.

Интерактивті калькулятор: Optimal Leverage Calculator көріп шығыңыз — стратегия параметрлерін енгізіп, төрт әдіс бойынша оңтайлы левереджді визуализациямен алыңыз.

Сауда Жүйелерін Құруға Арналған Қорытындылар

Шығынды басқару тиімді кірулерді табудан математикалық тұрғыдан маңыздырақ. Бұл мотивациялық ұран емес — бұл көбейткіштік кірістер асимметриясының салдары.

Нақты ережелер:

1. Стоп-лосстар міндетті. Шығынның әрбір пайызы қалпына келтіруді экспоненциалды түрде қиындатады. 25%-дан жоғары просадка (+33% қажет) — қызыл аймақ.

2. Минималды R:R = 1:2. Симметриялы R:R-де тіпті 50% жеңіс жиілігі де тиімсіз. Тек пайда пайдасына асимметриялы R:R ғана волатильділік дрейфін өтейді.

3. Өлшемдеу үшін фракциялық Келли. Толық Келли теориялық тұрғыдан оптималды, бірақ іс жүзінде $f^{*}/2$ капитал волатильділігінің 50%-ымен кірістің 75%-ын береді.

4. Волатильділік — эджсіз сіздің жауыңыз. Жоғары волатильді активтер үшін бүйірлік нарықта тек позицияны ұстау шығынды тудырады. Егер сізде статистикалық эдж болмаса — сауда жасамаңыз.

5. Арифметикалық емес, геометриялық күтуді есептеңіз. Мәміле бойынша орташа пайданы көрсететін бэктест өтірік айтады — нақты кіріс әрдайым $\frac{\sigma^2}{2}$-ге аз.

6. Левередж формулалардан, ашкөздіктен емес. Максималды левереджді есептеу үшін $L_{max} = D_{max} / VaR$ формуласын қолданыңыз. Күнделікті VaR-ы 8% және мақсатты просадкасы 20% болатын крипто үшін бұл 2,5× береді — 50× немесе 125× емес.

Қорытынды: Дұрыс Есептеңіз — Ұзағырақ Өмір Сүріңіз

Кірістердің көбейткіштік табиғатын түсіну — академиялық жаттығу емес. Бұл кез келген жарамды сауда жүйесі құрылатын негіз.

Көптеген трейдерлер нарықтан "интуицияның" немесе инсайдерлік ақпараттың жоқтығынан жеңіледі емес — олар аддитивтік кеңістікте (арифметикалық орта) шешім қабылдайтындықтан жеңіледі, ал нарық көбейткіштік кеңістікте (геометриялық орта) жұмыс істейді.

Әрбір мәмілеге дейін қоюға тұрарлық үш сұрақ:

1. Егер стоп іске қосылса — қалпына келе аламын ба? $R_{recovery} = \frac{x}{100-x}$ формуласы жауапты бірден береді. Мәміле бойынша тәуекел 10%-дан асқанда, қалпына келу орынсыз үлкен күш жұмсауды талап ете бастайды.

2. Менде статистикалық эдж бар ма? Егер жоқ болса — сауда жасамаңыз. Тек волатильділіктің өзі волатильділік дрейфі арқылы шығынға кепілдік береді. Волатильділік кезінде эджтің болмауы — капиталдың баяу, бірақ сөзсіз жойылуы.

3. Менің стратегиямның геометриялық күтуі қандай? Мәміле бойынша орташа пайда емес, жеңіс жиілігінің пайызы емес — дәл $E_{geo}$. Бұл нақты ұзақ мерзімді тиімділікті көрсететін жалғыз көрсеткіш.

Алго-трейдинг код жазудан емес, математикадан басталады. Код — бұл тек математикалық тексеруден өткен стратегияны іске асыру құралы ғана. Бұл тексерусіз тіпті мінсіз жазылған алгоритм де депозитіңізді жүйелі түрде азайтады.

Нарық қателерді жазаламайды — ол жай ғана капиталды дұрыс есептемейтіндерден дұрыс есептейтіндерге қайта бөледі.

Келесі тақырып: орта-дисперсиялық әдістерді қолдана отырып портфельді оңтайландыру — әртараптандыру қашан жұмыс істейді және қашан ол қауіпсіздіктің елесіне айналады.

Дәйексөз

@article{soloviov2026lossprofitasymmetry,
  author = {Soloviov, Eugen},
  title = {Loss-Profit Asymmetry: The Math That Kills Your Deposit},
  year = {2026},
  url = {https://marketmaker.cc/en/blog/post/loss-profit-asymmetry},
  version = {0.1.0},
  description = {Why losing 50% requires 100% growth to recover, how volatility drag destroys capital even in sideways markets, and which formulas every algo trader must know for risk management.}
}